2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Тригонометрия, Доказать
Сообщение22.10.2011, 17:31 
Доказать ,что
$\sin^2{\frac{\pi}7}\cdot\sin^2{\frac{2\pi}7}\cdot\sin^2{\frac{3\pi}7}=\frac7{64}$

(Оффтоп)

Как то постарался но туплю глупо.... или задача неверное....

 
 
 
 Re: Тригонометрия, Доказать
Сообщение22.10.2011, 18:01 
воспользуйтесь формулой $\sin ^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, дальше будет проще...

 
 
 
 Re: Тригонометрия, Доказать
Сообщение22.10.2011, 20:00 
Можно выразить все через $\sin \frac{\pi}{7}$, долго но надежно)

 
 
 
 Re: Тригонометрия, Доказать
Сообщение23.10.2011, 00:05 
Используя формулу, выражающую $\sin \left( {7\alpha } \right)$ через $\sin \left( \alpha  \right)$ покажите, что числа

$x_1  = \sin ^2 \left( {\frac{\pi }{7}} \right),\;x_2  = \sin ^2 \left( {\frac{{2\pi }}{7}} \right),\;x_3  = \sin ^2 \left( {\frac{{3\pi }}{7}} \right)$

являются корнями кубического уравнения

$64x^3  - 112x^2  + 56x - 7 = 0$ .

Применяя к этому уравнению теорему Виета, получите требуемое равенство.

 
 
 
 Re: Тригонометрия, Доказать
Сообщение23.10.2011, 02:21 
Аватара пользователя
Да, это самое простое решение:

$x^3-\frac{7}{4}x^2+\frac{7}{8}x-\frac{7}{64}=0$

Произведение корней равно свободному члену с обратным знаком:

$x_1\cdot x_2\cdot x_3 = \frac{7}{64}$

Это и есть ответ.

 
 
 
 Re: Тригонометрия, Доказать
Сообщение23.10.2011, 05:20 
Это частный случай равенства
$$
\prod_{k=1}^{n-1} \sin{\frac{\pi k}{n}}=\frac{n}{2^{n-1}},
$$
которое легко доказывается с помощью комплексных чисел (другая формулировка: найти произведение длин всех диагоналей правильного $n$-угольника).

 
 
 
 Re: Тригонометрия, Доказать
Сообщение23.10.2011, 19:39 
nnosipov в сообщении #495231 писал(а):
Это частный случай равенства
$$
\prod_{k=1}^{n-1} \sin{\frac{\pi k}{n}}=\frac{n}{2^{n-1}},
$$
которое легко доказывается с помощью комплексных чисел (другая формулировка: найти произведение длин всех диагоналей правильного $n$-угольника).

Хорошо, всё понял спасибо... задачка было очень легкое , но как то я отделялся от элементарной математики... по этому соп соп соп

 
 
 
 Re: Тригонометрия, Доказать
Сообщение23.10.2011, 20:06 

(Оффтоп)

myra_panama в сообщении #495449 писал(а):
по этому соп соп соп
:?:

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group