Среднее арифметическое степеней делителей

[AVE]

Я доказал, что
1) $n^{\frac{k}{2}} \leqslant \frac{\sigma_{k}(n)}{\tau(n)} \leqslant \frac{n^k + 1}{2} $
2) В верхней оценке нельзя уменьшить ни степень, ни коэффициент при $n^k$, так как для простых n достигается равенство.

У меня есть гипотеза, что нижняя оценка также неулучшаема. Может ли в её доказательстве как-то помочь то, что среднее геометрическое делителей n равно $\sqrt{n}$? В частности, из этого и неравенства о средних сразу следует нижняя оценка.

Пояснение: $\sigma_{k}(n)$ - сумма k-тых степеней делителей n. $\tau(n)$ - количество делителей n.

[Sonic86]

Для $k=1, 1 \leqslant n \leqslant 10^6$ контрпримеров нет.
Насколько я понимаю, интереснее доказывать оценки сверху.
Например, гипотеза Римана эквивалентна неравенству $\sigma(n) \leqslant H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \sim e^{\gamma} n \ln \ln n$. У Вас правая часть будет порядка $O(n \ln n)$, так что интересно было бы посмотреть на доказательство.
Опять я забыл, что значит неулучшаемость.
Судя по всему доказывали в лоб. До ГР тут далеко. Жаль огрублять нельзя...

(ссылка)

Немного есть здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function

-- Сб окт 22, 2011 12:48:35 --

А, ну понятно:
$f(n):= \frac{n+1}{2}$, тогда $f(m)f(n)<f(mn)$, тогда $\frac{\sigma (n)}{\tau (n)} \leqslant \frac{n+1}{2}$ следует из $(\forall p \in \mathbb{P})(\forall a \in \mathbb{N}) \frac{\sigma (p^a)}{\tau (p^a)} \leqslant \frac{p^a+1}{2}$ (но не наоборот!). Последнее равносильно $\frac{p^a+...+p+1}{p^a+1} \leqslant \frac{a+1}{2}$, которое несложно доказывается (например, отдельно для четных и нечетных $a$).

[AVE]

Под неулучшаемостью нижней оценки я имел в виду, что для любого $\varepsilon \geqslant 0$ существует такое $n$, что $\frac{\sigma_{k}(n)}{\tau(n)} < n^{\frac12 + \varepsilon}$. Неравенства, приведённые в начале, я уже доказал ранее.

[Sonic86]

Не, ну понятно. Оценка сверху достаточно просто доказывается (мне интересна именно оценка сверху в силу наличия связи с гипотезой Римана), очень интересно было ее улучшить (несмотря на ее неулучшаемость ) - там начинаются настоящие трудности и интересности.