Я доказал, что
1)

2) В верхней оценке нельзя уменьшить ни степень, ни коэффициент при

, так как для простых n достигается равенство.
У меня есть гипотеза, что нижняя оценка также неулучшаема. Может ли в её доказательстве как-то помочь то, что среднее геометрическое делителей n равно

? В частности, из этого и неравенства о средних сразу следует нижняя оценка.
Пояснение:

- сумма k-тых степеней делителей n.

- количество делителей n.