2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение x^3=y^3+2y^2+1
Сообщение11.10.2011, 09:35 


11/10/11
7
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, решить уравнение в целых числах $x^3=y^3+2y^2+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3=y^3+2y^2+1
Сообщение11.10.2011, 10:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
$x^3-y^2(y+2)=1$

А дальше - умозрительно. Чтобы в скобках была по модулю единица:

$(-2)^3-(-3)^2(-3+2)=1 \quad \to x=-2 \,\;\, y=-3$

Чтобы скобка обнулилась:

$1^3-(-2)^2(-2+2)=1\quad \to x=1 \,\;\, y=-2 $

Ну и тривиальное решение: $x=1  ;  y=0$

Больше, видимо, в целых не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3=y^3+2y^2+1
Сообщение11.10.2011, 11:01 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
В целых числах.
Если $y>0$, то $y^3<y^3+2y^2+1<y^3+3y^2+3y+1=(y+1)^3$ - правая часть заключена между последовательными кубами, значит она не куб.
Аналогично при $y< -3$ левая часть заключена между $(y-1)^3$ и $y^3$.
Значит $-3 \leqslant y \leqslant 0$ - перебираем.
Проверьте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3=y^3+2y^2+1
Сообщение11.10.2011, 13:18 


11/10/11
7
Проверила! Получилось. ОГРОМНОЕ спасибо.
Корни (1;0) и (1;-2) получались путём перенесения 1 в левую часть и вынесения $y^2$
за скобки. Но преподаватель говорил, что решение не полное. Сейчас, думаю, не отправит на доработку.
СПАСИБО. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3=y^3+2y^2+1
Сообщение21.10.2011, 15:48 


21/10/11
4
Sonic86 в сообщении #491572 писал(а):
В целых числах.
Если $y>0$, то $y^3<y^3+2y^2+1<y^3+3y^2+3y+1=(y+1)^3$ - правая часть заключена между последовательными кубами, значит она не куб.
Аналогично при $y< -3$ левая часть заключена между $(y-1)^3$ и $y^3$.
Значит $-3 \leqslant y \leqslant 0$ - перебираем.
Проверьте.

Люблю я такие решения, но насколько я понял рпи $y<3$ левую часть нужно заключать между $y^3$ и $(y+1)^3$, тогда всё получается. Ну а там дальше уже перебор и выходим на пары $(1;0) (1;-2) (-2;-3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3=y^3+2y^2+1
Сообщение21.10.2011, 20:55 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ybogii в сообщении #494789 писал(а):
при $y<3$ левую часть нужно заключать между $y^3$ и $(y+1)^3$, тогда всё получается.

Да, именно так, я со знаком там накосячил :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov, Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group