Уравнение x^3=y^3+2y^2+1

[Sveta_68]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, решить уравнение в целых числах $x^3=y^3+2y^2+1$

[Klad33]

$x^3-y^2(y+2)=1$

А дальше - умозрительно. Чтобы в скобках была по модулю единица:

$(-2)^3-(-3)^2(-3+2)=1 \quad \to x=-2 \,\;\, y=-3$

Чтобы скобка обнулилась:

$1^3-(-2)^2(-2+2)=1\quad \to x=1 \,\;\, y=-2 $

Ну и тривиальное решение: $x=1 ; y=0$

Больше, видимо, в целых не получится.

[Sonic86]

В целых числах.
Если $y>0$, то $y^3<y^3+2y^2+1<y^3+3y^2+3y+1=(y+1)^3$ - правая часть заключена между последовательными кубами, значит она не куб.
Аналогично при $y< -3$ левая часть заключена между $(y-1)^3$ и $y^3$.
Значит $-3 \leqslant y \leqslant 0$ - перебираем.
Проверьте.

[Sveta_68]

Проверила! Получилось. ОГРОМНОЕ спасибо.
Корни (1;0) и (1;-2) получались путём перенесения 1 в левую часть и вынесения $y^2$
за скобки. Но преподаватель говорил, что решение не полное. Сейчас, думаю, не отправит на доработку.
СПАСИБО.

[Ybogii]

Sonic86 в сообщении #491572 писал(а):

В целых числах.
Если $y>0$, то $y^3<y^3+2y^2+1<y^3+3y^2+3y+1=(y+1)^3$ - правая часть заключена между последовательными кубами, значит она не куб.
Аналогично при $y< -3$ левая часть заключена между $(y-1)^3$ и $y^3$.
Значит $-3 \leqslant y \leqslant 0$ - перебираем.
Проверьте.

Люблю я такие решения, но насколько я понял рпи $y<3$ левую часть нужно заключать между $y^3$ и $(y+1)^3$, тогда всё получается. Ну а там дальше уже перебор и выходим на пары $(1;0) (1;-2) (-2;-3)$

[Sonic86]

Ybogii в сообщении #494789 писал(а):

при $y<3$ левую часть нужно заключать между $y^3$ и $(y+1)^3$, тогда всё получается.

Да, именно так, я со знаком там накосячил