Метод Фурье

[Евгеша]

Здравствуйте. Такой вопрос: Почему мы ищем решение начально-краевой задачи в виде ряда Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, а не по какой-то другой? Ну скажем, в виде обычного тригонометрического ряда Фурье? Ведь коэффициенты Фурье все равно подбираются такие, которые удовлетворяют уравнению и данным условиям, так для чего нам сдалась эта задача Ш-Л?

[ИСН]

Вы когда-нибудь видели у такой задачи собственные функции, отличные от синусов и косинусов?

[Евгеша]

ИСН
Нет, но почему просто не берется стандартный триг. ряд и не подставляется в уравнение, ищутся сначала какие-то собств. числа и функции?

[ИСН]

Евгеша в сообщении #494627 писал(а):

Нет

Вот то-то же.
А ведь там что угодно может быть.
(Если "сразу видно", что синусы - разумеется, можно не искать, а сразу брать триг.ряд и дальше как Вы говорите.)

[Евгеша]

ИСН
Но ведь в эль-два любую функцию можно представить в виде триг. ряда, а значит и любое решение уравнения. Остается только вычислить подходящие коэффициенты. Разве не так?

[ИСН]

Так-то оно так, но если тригонометрические функции - не собственные для задачи, то уравнения связи между коэффициентами получатся чудовищно некрасивыми (там будет зависеть "всё от всего", первый коэффициент - от 2, 3, 4 и так до упора, второй тоже, остальные тоже, решать нельзя, ни хрена не выразишь).

[Евгеша]

Ага, вот, где собака зарыта. Спасибо за помощь.

[ewert]

Евгеша в сообщении #494617 писал(а):

Почему мы ищем решение начально-краевой задачи в виде ряда Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, а не по какой-то другой?

Потому, что какая-то другая не удовлетворит краевым условиям. Корректность разложения по именно собственным функциям -- это вопрос отдельный; но, во всяком случае, надеяться на разумность разложения по другим системам было бы несколько наивно. Это во-первых.

А во-вторых (и в главных). Мы раскладываем по именно собственным функциям (неважно, как конкретно они выглядят) потому, что при умножении такого ряда на оператор собственные функции просто умножаются на число; любые же другие преобразовывались бы каким-то нетривиальным образом и, соответственно, никакой пользы из такого разложения и не вышло бы. Собственно, примерно это и хотел сказать ИСН
в своём последнем сообщении.