SO(3), теорема Эйлера

[Sonic86]

Подскажите, пожалуйста, книжку, где можно относительно быстро прочесть от определения $SO(3)$ до теоремы Эйлера о том, что композиция вращений сферы тоже является вращением. Я немного затрудняюсь с литературой и Вики с гуглом не очень помогли

[Klad33]

Разве этого недостаточно?

Кватернионы_и_вращение_пространства

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #494588 писал(а):

композиция вращений сферы тоже является вращением

В Вики этого нет. Есть лишь утверждение об этом. Вообще нет связи между вращениями и матрицами.

Я об этой теме вообще ничего почти не знаю

[Leox]

в учебнике Кострикина я такое находил

[Sonic86]

Leox в сообщении #494600 писал(а):

в учебнике Кострикина я такое находил

Я вот как раз оттуда начал. Определение $SO(3)$ нашел, простоту $SO(3)$ нашел, а вот связи с вращениями пространства и тем более теорему Эйлера не нашел Может, что-то не увидел...
Гугл мне выдает физические книжки, я в них смотрю и обалдеваю - там аппарат довольно страшный. Или все-таки нужно идти Сивухина читать? Или там Миллера?
Или я слишком многого хочу?

[Leox]

Не знаю, физические книжки читать не могу, даже если знаю о чем они пишут..
О вращениях написано в главе 7, параграф 1, Классические группы малых размерностей. теорема Ейлера там только упоминается вскользь.

[Kallikanzarid]

Sonic86 в сообщении #494588 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, книжку, где можно относительно быстро прочесть от определения $SO(3)$ до теоремы Эйлера о том, что композиция вращений сферы тоже является вращением. Я немного затрудняюсь с литературой и Вики с гуглом не очень помогли

Теорема Эйлера - тривиальное следствие из характеризации вращений как изометрий, сохраняющих ориентацию. Я думаю, в любом учебнике по группам Ли SO(n) рассматривается детальнейшим образом. В книге Новикова и Тайманова "Современные геометрические структуры и поля" ей тоже уделен один параграф (книга галопом пробегает по всей диффгеометрии и ее приложениях в физике).

[deep blue]

Не знаю на сколько в тему напишу, но вдруг это что-то прояснит ... хотя бы для меня:). Когда читал линейную алгебру сформулировал для себя похожее утверждение, которое вроде бы легко вытекало из основ. Там было написано, что любое линейное преобразование ненулевого вещественого пространства имеет или одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Далее я уже сам додумываю - всякое линейное преобразование трехмерного пространства имеет вещественный корень характеристического многочлена и следовательно одномерное инвариантное подпространство, то есть неизменную ось. Значит у композиции вращений как линейных преобразований всегда найдется неизменная ось.

[Sonic86]

Leox в сообщении #494612 писал(а):

Не знаю, физические книжки читать не могу, даже если знаю о чем они пишут..
О вращениях написано в главе 7, параграф 1, Классические группы малых размерностей. теорема Ейлера там только упоминается вскользь.

Да, все-таки нужно прочесть.

Kallikanzarid в сообщении #494620 писал(а):

Теорема Эйлера - тривиальное следствие из характеризации вращений как изометрий, сохраняющих ориентацию. Я думаю, в любом учебнике по группам Ли SO(n) рассматривается детальнейшим образом. В книге Новикова и Тайманова "Современные геометрические структуры и поля" ей тоже уделен один параграф (книга галопом пробегает по всей диффгеометрии и ее приложениях в физике).

Ладно, гляну. Я о группах Ли знаю лишь то, что они существуют Хотя все равно придется читать...

deep blue в сообщении #494633 писал(а):

Не знаю на сколько в тему напишу, но вдруг это что-то прояснит ... хотя бы для меня:). Когда читал линейную алгебру сформулировал для себя похожее утверждение, которое вроде бы легко вытекало из основ. Там было написано, что любое линейное преобразование ненулевого вещественого пространства имеет или одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Далее я уже сам додумываю - всякое линейное преобразование трехмерного пространства имеет вещественный корень характеристического многочлена и следовательно одномерное инвариантное подпространство, то есть неизменную ось. Значит у композиции вращений как линейных преобразований всегда найдется неизменная ось.

Ну вот в Кострикине тоже нашел, что хотя бы одно собственное значение матрицы вращения равно $1$.
Спасибо!
Постараюсь по запчастям так собрать.
Вот еще с кватернионами была хорошая идея - если суметь показать изоморфизм между ними и $SO(3)$, было бы тоже хорошо, но в Вики только биекция, или изоморфизм, но неявно.

[Kallikanzarid]

Sonic86 в сообщении #494676 писал(а):

Я о группах Ли знаю лишь то, что они существуют Хотя все равно придется читать...

Если хотите познакомиться именно с алгебрами и группами Ли, то лучше всего читать учебник Серра, он до сих пор не превзойден.

[Leox]

Серра для новичков? Там достаточно посмотреть каким образом он определяет алгебру Ли, чтобы спугнуть любого неофита :)

Теорема Ейлера и смежные вопросы хорошо описаныв книге Голод, Климык Математические основы теории симметрий, параграф 5. Группы пространственых симметрий

[spyphy]

в Гельфанд, Минлос, Шапиро. Представление группы вращений и группы Лоренца, с. 11, можешь тоже посмотреть

[Kallikanzarid]

Leox в сообщении #494771 писал(а):

Серра для новичков? Там достаточно посмотреть каким образом он определяет алгебру Ли, чтобы спугнуть любого неофита :)

Меня это спугнуло - а потом заставило обстоятельно изучить алгебру и теорию категорий. А сейчас вот я изучил примеры дифференцирований в точке $C^k$-многообразия, не являющихся касательными векторами, ищу, чтобы почитать о локально окольцованных пространствах в общем. Пугаться полезно

Опять же, нигде, кроме как у Серра, нет вменяемого описания универсальной обертывающей алгебры.

[ewert]

deep blue в сообщении #494633 писал(а):

всякое линейное преобразование трехмерного пространства имеет вещественный корень характеристического многочлена и следовательно одномерное инвариантное подпространство, то есть неизменную ось. Значит у композиции вращений как линейных преобразований всегда найдется неизменная ось.

Только не так быстро. Надо, чтобы это подпространство было не просто инвариантным, а отвечало бы собственному числу, равному именно единице. Т.е. надо ещё убедиться в невозможности случая, когда есть минус единичное с.ч. и пара комплексных.

[Leox]

Kallikanzarid в сообщении #494775 писал(а):

Опять же, нигде, кроме как у Серра, нет вменяемого описания универсальной обертывающей алгебры.

Универсальная обертывающая алгебра есть простой для понимания обьект. У Диксмье в одноименной книге очень хорошо и доступно описано.