Комплексные числа

[FFMiKN]

Здравствуйте, друзья.
Задание заключается в том, чтобы представить комплексное число в тригонометрической форме.
И тут вроде бы все понятно: $z= r(\cos a-i\sin a)$ , где a- аргумент комплексного числа.
Причем $\cos a= \frac xr$ и $\sin a= \frac yr$. Из этих выражений как я понял мы находим аргумент комплексного числа.
Но есть задание: представить в тригонометрической форме комплексное число $3-4i$.
Я решаю его: Получаю $r=5$, отсюда $\cos a=\frac35$ и $\sin a=\frac{-4}5$.
Подскажите, пожалуйста, вот как мне отсюда аргумент определить? Или есть другие способы его определения? Преподаватель сказал еще на тригонометрической окружности что-то искать и отмечать... Пытался разобраться, но увы... Если кто может, просветите по этому вопросу!

[PAV]

Есть такие функции - $\arccos$ и $\arcsin$

-- Чт окт 20, 2011 16:40:23 --

А так ход решения правильный

[FFMiKN]

Спасибо, я знаю о них... Но... Так и оставить что ли : $z=5(\cos({\arccos{\frac35})}-i\sin({\arcsin{\frac{-4}5}}))$ ?
А что тогда можно на окружности показать? Не знаете?

[bot]

Цитата:

Задание заключается в том, чтобы представить комплексное число в тригонометрической форме.
И тут вроде бы все понятно: $z= r(\cos a-i\sin a)$ , где a- аргумент комплексного числа.

Можно конечно и по часовой стрелке аргумент считать, но стандартно считают так $z= r(\cos a+i\sin a)$

-- Чт окт 20, 2011 19:56:23 --

И с этим минусом Вы себя запутали.

[FFMiKN]

Цитата:

И с этим минусом Вы себя запутали.

Это точно
Ну значит я так и оставлю. Спасибо большое)

[PAV]

тут есть тонкость, связанная с областями значений этих функций

-- Чт окт 20, 2011 17:12:36 --

если хотя бы один аргумент отрицательный, то такой способ будет признан ошибочным

[FFMiKN]

Цитата:

если хотя бы один аргумент отрицательный, то такой способ будет признан ошибочным

Хм... Значит есть другой способ?

[PAV]

Нет, просто нужно понимать, что $\arccos$ выдает значение в диапазоне от $0$ до $\pi$, а $\arcsin$ - в диапазоне от $-\pi$ до $\pi$. Вам ведь нужно, чтобы эти функции выдали один и тот же угол, а это произойдет только если он лежит в первой четверти. Во всех остальных случаях нужно во-первых по знакам определить, в какой четверти должен лежать аргумент комплексного числа, а затем соответствующим образом преобразовать ответ одной или двух этих функций. А точнее, нужно просто использовать одну из них. Например, если аргумент должен лежать во второй четверти, то можно записать ответ в виде $\alpha=\arccos(\ldots)$. Если в четвертой четверти - то подойдет арксинус, а если в третьей - то нужно взять либо то, либо другое, но преобразовать.

[FFMiKN]

Спасибо огромное за помощь!

[ewert]

Есть стандартное правило, позволяющее вообще ни о чём не думать (но требующее, конечно, нерассеянности): $a=\arctg\frac yx$, к которому добавляется $\pi$ тогда и только тогда, когда $x<0$ (случай $x=0$, конечно, особый, но он и тривиален).