Метризуемость топологии

[JMH]

Нужно доказать, что топология, индуцированная отношением лексикографического порядка на $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ метризуема.

Я так понимаю, для доказательства достаточно найти метрику, которая бы индуцировала на $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ топологию, эквивалентную указанной. Возьмём произвольное $\alpha>1$ и, для общности, определим метрику на $\mathbb{R}^n$, $n$ - конечное, так: $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha^i\max(\alpha,|x_i-y_i|)$; здесь компоненты произведения нумеруются справа налево (иначе степенью $\alpha$ следует взять $n-i$). Затем доказываем, что системы окрестностей, определённые лексикографическим порядком и указанной метрикой эквивалентны. Так корректно?

Заранее большое спасибо!

[Someone]

JMH в сообщении #494303 писал(а):

Возьмём произвольное $\alpha>1$ и, для общности, определим метрику на $\mathbb{R}^n$, $n$ - конечное, так: $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \alpha^i\max(\alpha,|x_i-y_i|)$; здесь компоненты произведения нумеруются справа налево (иначе степенью $\alpha$ следует взять $n-i$).

Что-то сильно подозрительное. Это вообще метрика? И, мне кажется, она индуцирует дискретную топологию.

По поводу заданного Вам пространства подскажу, что оно есть дискретная сумма континуума экземпляров $\mathbb R$, или, ещё проще, произведение дискретного пространства мощности континуум на $\mathbb R$. Докажите сначала это, а метрику потом определить будет очень просто.

[JMH]

Ага, кажется нашёл: $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\Big(i+\frac{|x_i-y_i|}{1+|x_i-y_i|}\Big)$

[Someone]

JMH в сообщении #494314 писал(а):

А насчёт "дискретной суммы континуума экземпляров $\mathbb R$", мне кажется, это очевидно

Тем более. Метрика на дискретном пространстве очень простая, а метрику на произведении двух метрических пространств определить легко (и не одним способом).

[JMH]

Прошу прощения, хотел добавить к преыдущему сообщению и вместо того отредактировал, т.е. полностью заменил :( Подойдёт ли такая метрика: $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\Big(i+\frac{|x_i-y_i|}{1+|x_i-y_i|}\Big)$?

[Someone]

А это метрика??? Не похоже.

Чего Вы возитесь с этим $\mathbb R^n$? Там ничего нового нет по сравнению с $\mathbb R^2$, всё равно Ваше пространство гомеоморфно $D(\mathfrak c)\times\mathbb R$, где $D(\mathfrak c)$ - дискретное пространство мощности континуум, причём, оно у Вас параметризовано действительными числами (а если Вы берёте $\mathbb R^n=\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R$, то такое же дискретное множество параметризовано точками $\mathbb R^{n-1}$). На этом произведении и определяйте метрику.

[JMH]

Someone в сообщении #494330 писал(а):

А это метрика??? Не похоже.

Вы правы, это не пойдёт. Собственно, оно аксиомам-то удовлетворяет, но окрестность, задаваемая такой метрикой не соответствует окрестности в топологии, индуцированной отношением порядка. Кстати, имеется ли русский аналог термина "order topology"?

Someone в сообщении #494330 писал(а):

На этом произведении и определяйте метрику.

Пытался. Не знаю, как "приспособить" метрику к тому факту, что если первые координаты двух точек отличны, то между ними континуум действительных прямых.

-- Ср окт 19, 2011 17:46:52 --

Очередная попытка. Для любых двух точек $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ и $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ определяем расстояние так:
$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\Delta+\delta$, где

$ \Delta=\begin{cases} 0,&\text{если $x_1=y_1$;}\\ 1+\frac{|x_1-y_1|}{1+|x_1-y_1|},&\text{если $x_1\neq y_1$;} \end{cases} $

$\delta=\frac{|x_2-y_2|}{1+|x_2-y_2|}$

Идея, очевидно, состоит в том, что $\Delta$ ответственна за расстояние между первыми, а $\delta$ - вторыми компонентами точек. Что скажете?

-- Ср окт 19, 2011 18:02:23 --

UPD: Нет, не пойдёт - при суммировании расстояний получится ерунда

[Kallikanzarid]

Ваше пространство несвязно; более того, для любого $x \in \mathbb{R}$ множество $\{x\} \times \mathbb{R}$ открыто. Следовательно, как справедливо сказал Someone, нужно отталкиваться от дискретной и обычной метрик на $\mathbb{R}$

[Someone]

JMH в сообщении #494334 писал(а):

имеется ли русский аналог термина "order topology"?

"Порядковая топология".

JMH в сообщении #494334 писал(а):

Не знаю, как "приспособить" метрику к тому факту, что если первые координаты двух точек отличны, то между ними континуум действительных прямых.

Зачем её к этому "приспосабливать"? Расстояние определяется для пар точек, и без разницы, что там "между". Вообще забудьте, что первый множитель - это $\mathbb R$. Это, как мы выяснили, $D(\mathfrak c)$. Какую Вы знаете метрику на дискретном пространстве?

JMH в сообщении #494334 писал(а):

Идея, очевидно, состоит в том, что $\Delta$ ответственна за расстояние между первыми, а $\delta$ - вторыми компонентами точек. Что скажете?

Выкиньте эту страшную дробь из $\Delta$, да и $\delta$ вполне можно взять попроще, без дроби.

[JMH]

Someone в сообщении #494411 писал(а):

Какую Вы знаете метрику на дискретном пространстве?

Без заглядывания куда-либо, приходит в голову такая: $ \Delta=\begin{cases} 0,&\text{если $x_1=y_1$;}\\ 1,&\text{если $x_1\neq y_1$.} \end{cases} $

Someone в сообщении #494411 писал(а):

Выкиньте эту страшную дробь из $\Delta$, да и $\delta$ вполне можно взять попроще, без дроби.

Ну, что же, $\Delta$ берём, как определено выше, а $\delta$, за неимением у меня лучшей идеи, по прежнему $\delta=\frac{|x_2-y_2|}{1+|x_2-y_2|}$. Если просто вычислять расстояния между любыми двумя точками, то всё выглядит ОК. Теперь положим, я хочу определить окрестность точки 0, $B(\mathbf{0},r)$, такую, что точка $(1,0)$ ей принадлежит, а точка $(2,0)$ - нет. Ясно, что моя метрика этого сделать не позволяет. Вывод: я не понимаю, как воспользоваться дискретной метрикой

[Someone]

JMH в сообщении #494599 писал(а):

а $\delta$, за неимением у меня лучшей идеи, по прежнему $\delta=\frac{|x_2-y_2|}{1+|x_2-y_2|}$.

А почему бы не взять $\delta=|x_2-y_2|$? Или Вам обязательно нужна ограниченная метрика?

-- Чт окт 20, 2011 23:56:37 --

JMH в сообщении #494599 писал(а):

Теперь положим, я хочу определить окрестность точки 0, $B(\mathbf{0},r)$, такую, что точка $(1,0)$ ей принадлежит, а точка $(2,0)$ - нет.

А зачем Вам такая окрестность? Выглядит как блажь. Ну возьмите объединение двух шаров.

[JMH]

Someone в сообщении #494639 писал(а):

А зачем Вам такая окрестность? Выглядит как блажь.

Возможно, я неправильно понял условие задачи, а возможно, я в принципе не понимаю чего-то важного. Можно интерпретировать условие так: определить функцию из $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, упорядоченного лексикографически, в $\mathbb{R}$, удовлетворяющую аксиомам метрики. А можно так: определить на $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, упорядоченном лексикографически, метрику, порождающую базис топологии, эквивалентный базису порядковой топологии - что я и пытаюсь сделать. Это неправильно?

[Someone]

Ну так $d=\Delta+\delta$ (или, например, $d=\sqrt{\Delta^2+\delta^2}$) и будет определять требуемую порядковую топологию. Для этого же достаточно шаров радиуса меньше $1$ (или вообще любого $\varepsilon>0$).

[JMH]

Вот это

Someone в сообщении #494639 писал(а):

А почему бы не взять $\delta=|x_2-y_2|$? Или Вам обязательно нужна ограниченная метрика?

и это

Someone в сообщении #494669 писал(а):

Ну так $d=\Delta+\delta$ (или, например, $d=\sqrt{\Delta^2+\delta^2}$) и будет определять требуемую порядковую топологию. Для этого же достаточно шаров радиуса меньше $1$ (или вообще любого $\varepsilon>0$).

вызывает у меня сомнения, попробую сформулировать почему. Чтобы избежеть путаницы, будем обозначать элемент $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ не круглыми, а угловыми скобками: $\mathbf{x}=<x_1,x_2>$. Положим, $\delta$ ничем не ограничена и определена, как выше; тогда открытому шару $B(\mathbf{x},r)$ произвольного радиуса $r$ в порядковой топологии, соответствует открытый интервал $\big(<x_1,x_2-\frac{r}{2}>,<x_1,x_2+\frac{r}{2}>\big)$. Т.е. первая компонента $x_1$ точки не участвует вобще никогда. С другой стороны, открытому интервалу $\big(<x_1-\frac{R}{2},x_2>,<x_1+\frac{R}{2},x_2>\big)$ соответствует расстояние $d=1$. Которому, в свою очередь, соответствует интервал $\big(<x_1,x_2-\frac{1}{2}>,<x_1,x_2+\frac{1}{2}>\big)$. И если мы возьмём $1<r<R$, то получается совсем нехорошо...

[Someone]

Что-то путаница какая-то у Вас. Во-первых, шар определяется как $B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}$, и непонятно, откуда у Вас взялись "половинки". Во-вторых, совершенно не требуется, чтобы все интервалы, определяемые отношением порядка, были шарами в какой-либо метрике.

Предположим, на множестве $X$ заданы топология $\tau$ и метрика $d$. Объясните нам, что это значит, что метрика $d$ порождает топологию $\tau$.