Доказать монотонность последовательности

[Dosaev]

Доказать, что данная последовательность монотонна, начиная с некоторого номера:
${\sqrt{n^2+n}-n}.$

Преобразовал к виду (не знаю надо ли):
$\frac{1}{srqt{(1+\frac{1}{n})} + 1}.$

Как доказать? Ведь даже не ясно убывающая она или возрастающая??

[SpBTimes]

Достаточно просто домножить на сопряжённое

[ewert]

Ещё достаточнее тупо взять производную по эн и приравнять её к нулю. Что бы там ни получилось -- оно в любом случае сведётся к некоему алгебраическому уравнению, у которого, как ни крути, а количество корней конечно. И, значит...

[Dosaev]

И что от этого стало легче?
$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}.$
Последовательность монотонная, если она возрастает либо убывает. А тут про это ничего не сказано. Как быть?

-- Ср окт 19, 2011 21:24:54 --

ewert в сообщении #494263 писал(а):

И, значит...

есть максимум либо минимум, либо одно из двух.
Но мы не проходили такой метод, вы уверены что он стандартный для таких задач?

[Алексей К.]

По-момему, пережить тупое доказательство ${\sqrt{(n+1)^2+(n+1)}-(n+1)}>{\sqrt{n^2+n}-n}$ было бы полезно. Ну, а потом уже (или сразу) осознать вышеизложенное ewertом.

[ewert]

Dosaev в сообщении #494249 писал(а):

Преобразовал к виду (не знаю надо ли):
$\frac{1}{srqt{(1+\frac{1}{n})} + 1}.$

(Оффтоп)

Все всё редактируют, редактируют...

Надо, надо. Теперь-то уж монотонность очевидна.

(Оффтоп)

Хотя моя рекомендация была идейнее (пусть и "не для этого климата", как говаривал тов. Ф.Искандер)

[Dosaev]

Алексей К. в сообщении #494271 писал(а):

По-момему, пережить тупое доказательство ${\sqrt{(n+1)^2+(n+1)}-(n+1)}>{\sqrt{n^2+n}-n}$ было бы полезно. Ну, а потом уже (или сразу) осознать вышеизложенное ewertом.

То есть на вскидку вы выбрали возрастающую последовательность, и если это неравенство выполнимо для всех n то задача решена??
Можете верить а можете нет, но производная нулей не имеет.

-- Ср окт 19, 2011 21:45:12 --

ewert в сообщении #494273 писал(а):

Dosaev в сообщении #494249 писал(а):

Преобразовал к виду (не знаю надо ли):
$\frac{1}{srqt{(1+\frac{1}{n})} + 1}.$

(Оффтоп)

Все всё редактируют, редактируют...

Надо, надо. Теперь-то уж монотонность очевидна.

я конечно люблю это слово, но семнарист требует строгого доказательства.

[ewert]

Dosaev в сообщении #494275 писал(а):

Можете верить а можете нет, но производная нулей не имеет.

Да дело не в том, что не имеет нулей вообще, кому это интересно, а в том, что имеет не более чем конечное количество нулей, и этого достаточно.

-- Ср окт 19, 2011 22:50:44 --

Dosaev в сообщении #494275 писал(а):

но семнарист требует строгого доказательства.

Вот и доказывайте -- тупо, как требует семинарист. Одна энная монотонна? -- вроде да. Корень сам по себе монотонен? -- очевидно. Ну и т.д.. Потом из чувства спортивного интереса можете по цепочке отследить ещё и направление конечной монотонности. Если семинарист и этого захочет.

[Алексей К.]

Dosaev в сообщении #494275 писал(а):

То есть на вскидку вы выбрали возрастающую последовательность, и если это неравенство выполнимо для всех n то задача решена??

Навскидку не выбирал, исходил только из заявленной Вами задачи, но да, для всех эн или не для всех не знаю, но решив его эквивалентными преобразованиями, мы как раз и узнаем, для всех ли, не для всех ли, и для каких. Ли.