Доказать что l3 не гильбертово

[discobot]

Даже не знаю с чего начать

[alcoholist]

а что такое

discobot в сообщении #493157 писал(а):

l3

?

[мат-ламер]

Попробуйте проверить, выполняется ли равенство параллелограмма.

[discobot]

мат-ламер в сообщении #493159 писал(а):

Попробуйте проверить, выполняется ли равенство параллелограмма.

А точно нет другого способа?
А то что-то я заблудился в кубах.

а $l_3$ это последовательности, сумма которых меньше бесконечности и $||x||_3 = (\sum|x_n|^3)^{1/3}$

[alcoholist]

Тогда это единственный способ -- проверить, что данная норма не порождается скалярным произведением.

Вам всего лишь нужно придумать два вектора, для которых не выполняется тождество параллелограмма. Возьмите в качестве первого вектора $(1,0,0,\ldots)$

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #493164 писал(а):

Тогда это единственный способ -- проверить, что данная норма не порождается скалярным произведением.

Вам всего лишь нужно придумать два вектора, для которых не выполняется тождество параллелограмма. Возьмите в качестве первого вектора $(1,0,0,\ldots)$

Ага, а если для эквивалентной нормы равенство пар-грамма выпонится?

-- Пн окт 17, 2011 11:26:57 --

discobot
Проверьте, что $l_3$ не изоморфно своему сопряженному.

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #493352 писал(а):

Ага, а если для эквивалентной нормы равенство пар-грамма выпонится?

А причём тут вообще эквивалентная норма? В определении гильбертова пространства никакие эквивалентные нормы не упоминаются. В конечномерном случае вообще все нормы эквивалентны.
А пара, для которой неравенство параллелограмма не выполняется, находится очень легко (один вектор alcoholist уже подсказал).

Oleg Zubelevich в сообщении #493352 писал(а):

Проверьте, что $l_3$ не изоморфно своемцу сопряженному.

Зачем так пугать.

discobot в сообщении #493161 писал(а):

а $l_3$ это последовательности, сумма которых меньше бесконечности и $||x||_3 = (\sum|x_n|^3)^{1/3}$

Наверное, "сумма кубов членов которых"?

[ewert]

Естественно, нужно опровергать тождество параллелограмма; и естественно, что для этого достаточно подобрать пару векторов. Пространство эль-три -- это по определению пространство вот именно с такой нормой, и никакие эквивалентности тут не при чём.

-- Пн окт 17, 2011 12:39:27 --

Someone в сообщении #493357 писал(а):

А пара, для которой неравенство параллелограмма не выполняется, находится очень легко (один вектор alcoholist уже подсказал).

Да просто наобум -- взять два канонических базисных вектора из двумерного подпространства. Если равенство параллелограмма и впрямь нарушается, то, скорее всего, оно нарушается и на них; ну и нарушается.

[Oleg Zubelevich]

ewert
Норма -- объект не инвариантный. Одна и та же топология может задаваться разными нормами. Утверждение: "данная норма не порождена скалярным произведением" бессмысленно с точки зрения геометрии пространства. (Это к нашей беседе о преподавании) Я все-таки предлагаю доказать, что в $l_3$ не существует нормы порожденной скалярным произведением и задающей топологию эквивалентную исходной.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #493361 писал(а):

Я все-таки предлагаю доказать, что в $l_3$ не существует нормы порожденной скалярным произведением и задающей топологию эквивалентную исходной.

Предлагайте. Только это уже будет совсем другая задачка, никак не связанная с исходной, в которой задана вполне конкретная норма.

Oleg Zubelevich в сообщении #493361 писал(а):

Норма -- объект не инвариантный. Одна и та же топология может задаваться разными нормами.

Не в тему. Когда пространство именуется по имени, фамилии и отчеству -- автоматически подразумевается ровно та метрика, которая его и определяет.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #493367 писал(а):

Только это уже будет совсем другая задачка, никак не связанная с исходной,

неужели?

-- Пн окт 17, 2011 12:20:38 --

ewert в сообщении #493367 писал(а):

Когда пространство именуется по имени, фамилии и отчеству -- автоматически подразумевается ровно та метрика, которая его и определяет

Это смотря по каким книжкам учиться.

[alcoholist]

Oleg Zubelevich!


Вот, ей-богу, Вы на пустом месте наводиет тень на плетень. Не найдете Вы ни одной книжки, подтверждающей Вашу ``точку зрения''.

[Padawan]

Тут вопрос, что понимать под "гильбертовым пространством". Большинство здесь подразумевают, что это такое нормированное пространство, норма которого может быть задана некоторым скалярным произведение. Oleg Zubelevich подразумевает другое, более слабое условие. Могу предложить третий вариант: гильбертово пространство -- это пространство на котором задано скалярное произведение, и которое является полным относительно нормы , этим произведением определяемой. В этом случае $\ell^3$ не гильбертово по определению.

[ewert]

Padawan в сообщении #493821 писал(а):

Большинство здесь подразумевают, что это такое нормированное пространство, норма которого может быть задана некоторым скалярным произведение.

Да никто этого никогда не подразумевает. Т.к. любая конкретная норма или задана им, неким -- или нет, никаким, и взаимоотношения между ними вполне взаимно однозначны. Гильбертово пространство -- это ровно пространство со скалярным произведением, не более и не менее. Которое потом уже порождает заодно ещё и норму, но это уж потом, потом. Двусмысленности терминологии, когда одни приплетают к этому полноту или конечномерность одним боком, другие же -- другим, никакого значения в данном случае не имеют.

[AD]

Давайте дождёмся прояснения формулировки.