Контурный интеграл

[binky]

Пусть дан интеграл вида

$$A_{pq} = \int \limits_{0}^{+\infty} J_{p}(ax) J_{q}(ax) \frac{x^4 -b^4}{(x^4-b^4) \sqrt{x^2-c^2}-d^2}dx \, ,$$

где $J_{p}(ax)$, $J_{q}(ax)$ — функции Бесселя первого рода; $a$, $b$, $c$, $d$ — положительные константы; а индексы $p$ и $q$ обладают одинаковой четностью. Требуется привести интеграл к виду, удобному для численного расчета.

Сложность заключается в знаменателе подынтегрального выражения. Во-первых, подкоренное выражение принимает отрицательные значения на отрезке интегрирования, что выливается в необходимость перехода к комплексным переменным и контурному интегрированию. Во-вторых, как показывает численный счет, функция $f(z)=(z^4-b^4) \sqrt{z^2-c^2}-d^2$ обладает десятью нулями, два из которых лежат на действительной оси.

Я проводил разные разрезы, использовал лемму Жордана вкупе с теоремой о вычетах, обходил полюса по принципу предельного поглощения, но безрезультатно — либо интеграл по полубесконечной оси сходится со скоростью $\sim \frac{1}{x}$, либо я получаю множитель $J_{p}(aix) \sim e^{ax}$, либо, если разложить одну из функций Бесселя на сумму функций Ханкеля, я получаю вводящий меня в ступор полюс в нуле.

Логика моих рассуждений на примере подобного интеграла описана в данном PDF-файле (145KB).

Был бы благодарен за любое мнение по данному вопросу.

[svv]

И в числителе, и в знаменателе $x^4-b^4$ ?

[binky]

svv в сообщении #493415 писал(а):

И в числителе, и в знаменателе $x^4-b^4$ ?

Да.

[JMH]

binky в сообщении #493428 писал(а):

svv в сообщении #493415 писал(а):

И в числителе, и в знаменателе $x^4-b^4$ ?

Да.

Зачем?

[ИСН]

(Оффтоп)

Я тоже хотел выразить недоумение по этому поводу, но не нашёл подходящих слов.

[binky]

JMH в сообщении #493696 писал(а):

binky в сообщении #493428 писал(а):

svv в сообщении #493415 писал(а):

И в числителе, и в знаменателе $x^4-b^4$ ?

Да.

Зачем?

Даже не знаю, что и ответить.
Вот в этой статье формула (24).

[bot]

(Оффтоп)

Кому-то показалось, что $x^4-b^4$ сокращается?

$\dfrac{x^4 -b^4}{(x^4-b^4) \sqrt{x^2-c^2}-d^2}$

[svv]

Цитата:

Кому-то показалось

Вчера показалось, сегодня не верю своим глазам.

binky, та страничка встретила меня кнопкой "Purchase", а я изрядно поиздержался, и у меня в настоящий момент мало денег. Вы можете где-нибудь разместить статью?

[binky]

svv в сообщении #493808 писал(а):

Цитата:

Кому-то показалось

Вчера показалось, сегодня не верю своим глазам.

binky, та страничка встретила меня кнопкой "Purchase", а я изрядно поиздержался, и у меня в настоящий момент мало денег. Вы можете где-нибудь разместить статью?

На самом деле у меня самого нет доступа к электронному варианту статьи — есть только бумажный её вариант. Понадеялся на то, что у вас есть доступ к ScienceDirect :)

[JMH]

(Оффтоп)

bot в сообщении #493807 писал(а):

Кому-то показалось

Точно, показалось, стыдобища... никак не научусь читать именно то, что написано...

[bot]

(Оффтоп)

Дык я тоже не сразу разглядел - вслед за svv и мне показалось.