Нормальное распределение со случайным средним

[--mS--]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #493454 писал(а):

Да, не знаю, поскольку считаю фразу "параметрическое семейство распределений со случайным параметром" многозначной - математически ей не противоречит и модель случайного элемента $X: \omega \mapsto F_{\theta(\omega)}$ со значениями в пространстве всех функций распределений из заданного семейства, хотя, очевидно, к задаче она не имеет отношения. Так что насчет "все дано" я бы повоздержался.

Противоречит. Поскольку $X$ в исходной задаче был не случайным элементом со значениями где попало, а случайной величиной. Однако, даже и тут Вы не замечаете, что $\theta(\omega)$, раз оно от того же $\omega$, задано с иксом на одном пространстве элементарных исходов. Осталось иксу перестать действовать куда попало, и Вы пришли к единственной возможной математической модели.

_hum_ в сообщении #493454 писал(а):

В моем варианте это выглядит так: рассмотрим работу устройства У1-У2 как две отдельные: 1) генерирование У2 параметра и передача его устройству У1; 2) работа У1, как отдельного устройства с переданным параметром. На такую декомпозицию естественно ложится подход через условную вероятностную модель. Тем самым все оказывается обоснованным.

Уже просила дважды, прошу третий раз: не надо словес, опишите эту Вашу "условную вероятностную модель". В исходной задаче. Раз уж оно "естественно ложится". Не нужно мне объяснять, что такое условная вероятность. Никакие условные вероятности по событиям, по большому счёту, не имеют отношения к данной задаче.
За Вашими объяснениями я вижу только попытку уйти от ответа после того, как Вы, совершенно не вникнув в чужое решение, объявили его - чем там - мошенничеством? махинациями?

[_hum_]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #493274 писал(а):

То, что Вы не знаете, какая вероятностная модель должна отвечать параметрическому семейству распределений со случайным параметром, никак не означает, что эти модель не дана.

_hum_ в сообщении #493454 писал(а):

Да, не знаю, поскольку считаю фразу "параметрическое семейство распределений со случайным параметром" многозначной - математически ей не противоречит и модель случайного элемента $X: \omega \mapsto F_{\theta(\omega)}$ со значениями в пространстве всех функций распределений из заданного семейства, хотя, очевидно, к задаче она не имеет отношения. Так что насчет "все дано" я бы повоздержался.

--mS-- в сообщении #493535 писал(а):

Противоречит. Поскольку $X$ в исходной задаче был не случайным элементом со значениями где попало, а случайной величиной.

Прочтите внимательнее. Речь шла о многозначности толкования соответствующей фразы без контекста. Обозначение $X$ тут никак не связано с задачей - можете заменить его на любое другое - все равно указанный случайный элемент будет полностью (формально) отвечать этой фразе. Этим я пытался до Вас донести, что подобные фразы без контекста недоопределены. А потому в каждой конкретной задаче, дающей этот самый контекст, требуют уточнения, как и обоснования адекватности предложенных уточнений.

--mS-- в сообщении #493535 писал(а):

Уже просила дважды, прошу третий раз: не надо словес, опишите эту Вашу "условную вероятностную модель". В исходной задаче. Раз уж оно "естественно ложится". Не нужно мне объяснять, что такое условная вероятность. Никакие условные вероятности по событиям, по большому счёту, не имеют отношения к данной задаче.

Вообще-то, если уж так смотреть, то Вы ни разу не выписали в явном виде свою мат. модель - о ней мне пришлось догадываться самому. А такого же порядка описания моей модели для себя не допускаете... Ладно, вот она:
общая модель: $\Omega = \mathbb{R}$, $\mathcal{F} = \mathcal{B}$, $P$ - искомое распределение с.в.
Условная вероятностная модель (описывающая подэксперимент с условием $B_a$ = "параметр имеет значение $a$ (c точностью до бесконечно малой)": $\Omega_{B_a} = \mathbb{R}$, $\mathcal{F}_{B_a} = \mathcal{B}$, $P_{B_a}(dx) = N(a,1)(dx)$.
Поскольку, как уже объяснялось выше, $P_{B_a}(dx)$ можно рассматривать и как заданную на той же алгебре, что и исходная вероятность $P$, и между ними в этом случае выполняется соотношение $P({B_a}\cap dx) = P(da)P_{B_a}(dx)$, то, пользуясь тем, что события $\{B_a\}_{a} $ образуют разбиение исходного пространства, можем записать:

$$P(dx) = \int_{a}P({B_a}\cap dx) = \int_{a}P(da)P_{B_a}(dx) = \int_{a}n(0,\sigma^2)(a)n(a,1)da dx.$$

Все.
И, пожалуйста, не нужно только говорить, что никакой отдельно условной модели нет, а есть одна общая. Иначе я могу, аналогично ударившись в крайний релятивизм, заявить, что отдельных моделей вообще не существует за исключением одной-единственной - модель Вселенной, в которой "Бог играет в кости".

--mS-- в сообщении #493535 писал(а):

За Вашими объяснениями я вижу только попытку уйти от ответа

От ответа ушли Вы:

_hum_ в сообщении #493454 писал(а):

у "инженера" было устройство У1, работа которого описывалась с помощью некоторого закона распределения с параметром. После этого устройство включили в схему с более сложным устройством У2, которое способно управлять значением параметра. В предположении случайного управления, требуется найти новый закон распределения для работы устройства У1. И Ваш метод решения выглядит следующим образом: рассмотрим другое устройство У1*, в котором в явном виде можно выписать формулу зависимости распределения от параметра. Теперь заменим в нем параметр на случайную величину. Тогда наверняка У1* станет давать такие же характеристики, как и У1 в составе У2-У1 и можно будет этим воспользоваться. Вам не кажется, что такая подмена одной схемы на другую и постулирование их эквивалентности требует обоснования?

[--mS--]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #493590 писал(а):

Вообще-то, если уж так смотреть, то Вы ни разу не выписали в явном виде свою мат. модель - о ней мне пришлось догадываться самому.

См. сообщение post492574.html#p492574, всё там выписано, и даже ссылка приведена на байесовскую постановку, хотя всё и так читается однозначно.

_hum_ в сообщении #493590 писал(а):

$\Omega = \mathbb{R}$, $\mathcal{F} = \mathcal{B}$, $P$ - искомое распределение с.в.
Условная вероятностная модель (описывающая подэксперимент с условием $B_a$ = "параметр имеет значение $a$ (c точностью до бесконечно малой)": $\Omega_{B_a} = \mathbb{R}$, $\mathcal{F}_{B_a} = \mathcal{B}$, $P_{B_a}(dx) = N(a,1)(dx)$.
Поскольку, как уже объяснялось выше, $P_{B_a}(dx)$ можно рассматривать и как заданную на той же алгебре, что и исходная вероятность $P$, и между ними в этом случае выполняется соотношение $P({B_a}\cap dx) = P(da)P_{B_a}(dx)$, то, пользуясь тем, что события $\{B_a\}_{a} $ образуют разбиение исходного пространства, можем записать:

$$P(dx) = \int_{a}P({B_a}\cap dx) = \int_{a}P(da)P_{B_a}(dx) = \int_{a}n(0,\sigma^2)(a)n(a,1)da dx.$$

Все.
И, пожалуйста, не нужно только говорить, что никакой отдельно условной модели нет, а есть одна общая. Иначе я могу, аналогично ударившись в крайний релятивизм, заявить, что отдельных моделей вообще не существует за исключением одной-единственной - модель Вселенной, в которой "Бог играет в кости".

Я очень рекомендую почитать какой-нибудь классический учебник (Боровков, а лучше Ширяев), главу про условные распределения. Чтобы не городить таких конструкций. Равенство же $P(B_a\cap dx)=P(da)P_{B_a}(dx)$ вообще из разряда фантастики, поскольку слева чаще всего ноль стоит.

Никакой "отдельно условной модели" нет. Есть две случайных величины на одном вероятностном пространстве. Которых, кстати, у Вас так и не появилось. Впрочем, после указанного равенства - и не надо, я для себя выводы давно уже сделала.

_hum_ в сообщении #493590 писал(а):

От ответа ушли Вы:

_hum_ в сообщении #493454 писал(а):

у "инженера" было устройство У1, работа которого описывалась с помощью некоторого закона распределения с параметром. После этого устройство включили в схему с более сложным устройством У2, которое способно управлять значением параметра. В предположении случайного управления, требуется найти новый закон распределения для работы устройства У1. И Ваш метод решения выглядит следующим образом: рассмотрим другое устройство У1*, в котором в явном виде можно выписать формулу зависимости распределения от параметра. Теперь заменим в нем параметр на случайную величину. Тогда наверняка У1* станет давать такие же характеристики, как и У1 в составе У2-У1 и можно будет этим воспользоваться. Вам не кажется, что такая подмена одной схемы на другую и постулирование их эквивалентности требует обоснования?

Вы себе придумали схему, не имеющую ничего общего с математической постановкой, вот и возникают у Вас (не у меня!) проблемы с обоснованием. См. стандартную постановку двух случайных величин на одном вероятностном пространстве, с заданным совместным распределением, и нет никакой необходимости что-то обосновывать.

[_hum_]

(Оффтоп)

"Наша песня хороша, начинай сначала". Короче, глупо было вообще вести это дискуссию с Вами - апологетом "решений по формулам". Одно то, что Вы не умеете понимать суть обозначений наподобие $P(dx)$ уже говорит о многом. Удачи Вам и Вашим ученикам (надеюсь, на практике не придется столкнуться с результатами их расчетов).

[--mS--]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #493804 писал(а):

"Наша песня хороша, начинай сначала". Короче, глупо было вообще вести это дискуссию с Вами - апологетом "решений по формулам". Одно то, что Вы не умеете понимать суть обозначений наподобие $P(dx)$ уже говорит о многом. Удачи Вам и Вашим ученикам (надеюсь, на практике не придется столкнуться с результатами их расчетов).

Спасибо на добром слове. Одно то, что Вы не понимаете разницы между $A\cap B$ и $A\times B$, и не поняли всю бессмысленность равенства $P(B_a \cap dx)=...$ (чему-то, кроме нуля для всех случаев, когда $x\not\in B_a$), говорит обо всём.