Нормальное распределение со случайным средним

[profrotter]

--mS-- в сообщении #492574 писал(а):

С чего Вы взяли, что $X$ и $a$ независимы? А-а-а, придумали! Зачеркните свою придумку.

Остро! - По-заграничному! Зачеркнул. Виноват на ходу не внимательно прочитал. Тогда такой вопрос: а почему вы решили, что распределение величины $Y=X-A$ стандартное нормальное? Ведь распределение величины $X$ ещё только предстоит найти...

[--mS--]

profrotter в сообщении #492582 писал(а):

Тогда такой вопрос: а почему вы решили, что распределение величины $Y=X-A$ стандартное нормальное? Ведь распределение величины $X$ ещё только предстоит найти...

Из условия. Вы только что выписывали условную плотность, да только не той величины. А Вы выпишите той, какой надо.

Вообще, в таких ситуациях я сторонник самообслуживания.

[profrotter]

Рассмотрим случай фиксированного $a$. СВ $Y=X-a$ имеет нулевое мат. ожидание, дисперсию, равную дисперсии СВ $X$ и является гауссовой т.к. получается линейным преобразованием гауссовой СВ $X$, её ПРВ независит от $a$. Фактически $Y$ - это результат центрирования $X$ Всё - тут определена ПРВ величины $Y$, и установлена её независимость от $a$.
Теперь $X=Y+A$ получается как сумма двух независимых гауссовых СВ. По свойсвам мат. ожидания и дисперсии находим параметры закона распределения СВ $X$. Задача решена.
Всё согласен.

-- Пт окт 14, 2011 22:04:36 --

--mS-- в сообщении #492588 писал(а):

Вообще, в таких ситуациях я сторонник самообслуживания.

Писать надо понятнее. Всё-всё.

[--mS--]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #492593 писал(а):

Писать надо понятнее. Всё-всё.

Кому "надо"? Мне - не надо, мне и так всё понятно.

[profrotter]

(--ms--)

Ну вы же на форуме и тут вы не для себя пишете - тут другие люди. Им может быть не понятно. Вот мне, например, было непонятно. Если бы вы упомянули о центрированной СВ - я бы понял быстрее. Потом в методическом плане вы так и не обозначили отличие $a$ от $A$. Вы же преподаватель? - Доносить до простых людей сложные идеи - это ваше призвание и, быть может, мера таланта.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #492574 писал(а):

Вы меня извините, но что-то очень для меня сложное и непонятное Вы говорите. Стандартная байесовская постановка предполагает наличие двух вероятностных пространств - для наблюдений и для параметра, а совместное их распределение, равно как и условное распределение наблюдений при фиксированном параметре, и любые другие распределения, связанные с этой парочкой, задаётся на одном-единственном пространстве: декартовом произведении этих пространств (с соответствующей сигма-алгеброй, порождённой декартовым произведением сигма-алгебр). Вот на этом пространстве $a$ и $X$ суть случайные величины, ну и т.д. Нет тут никаких "условно-вероятностных моделей" и т.п.

В качестве корректного источника см., например, Ш.Закс "Теория статистических выводов", начало параграфа 2.10, где подробно даётся стандартная байесовская постановка.

Здесь рассматривалась не чисто математическая, а содержательная задача (ибо однозначной математической трактовки фигурирующего в условии задачи понятия "распределения со случайным параметром" нет). Следовательно, ее нужно было вначале формализовать (адекватно записать на математическом языке), а затем решить. Так вот, поскольку большинство (известных мне) задач с подобными "условиями" всегда порождались ситуацией, когда известны лишь условные распределения, а по ним нужно восстановить "совместное распределение", то, и данную задачу я отнес к таковым, а посему естественно посчитал единственной адекватной формализацией ту, которая сводится к разработке соответствующих условно-вероятностных моделей, по которым затем собиралась бы общая модель. Вы же применили другую трактовку, в адекватности которой для задачи с подобным условием я и усомнился по очевидным причинам.

В байесе аналогичная ситуация - то, что некоторые авторы-математики (как в указанном Вами источнике), описывая эту теорию, просто формально вводят совместное распределение формулой $g(x;\theta) = h(\theta)f(x;\theta)$ и больше не заморачиваются, не означает, что при этом они обходятся "безо всяких условных условно-вероятностных моделей", поскольку эта формула именно оттуда и взята. И сколько бы они не теоретизировали, опуская напрямую упоминания понятий условных вероятностных моделей, все равно при попытке приложения этой теории для решения содержательных задач придется все назвать своими именами.

Да, на всякий случай. Под условной вероятностной моделью понимается факторизация исходного измеримого пространства по некоторому выделенному событию $B$ и задание на этой факторизации некоторой вероятности $\mathbf{P}_B$. Содержательно этой модели соответствует наблюдение за той частью сложного эксперимента, в которой всегда присутствет реализация события $B$.

[--mS--]

_hum_ в сообщении #492603 писал(а):

Да, на всякий случай. Под условной вероятностной моделью понимается факторизация исходного измеримого пространства по некоторому выделенному событию $B$ и задание на этой факторизации некоторой вероятности $\mathbf{P}_B$. Содержательно этой модели соответствует наблюдение за той частью сложного эксперимента, в которой всегда присутствет реализация события $B$.

Да не нужно никому всей этой псевдоматематики "на пальцах". Приведите, пожалуйста, корректное описание математической модели, отвечающей, с Вашей точки зрения, исходной задаче. Я, со своей стороны, это уже сделала выше. Вы - пока нет. Одна говорильня.

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #492598 писал(а):

Доносить до простых людей сложные идеи - это ваше призвание и, быть может, мера таланта.

Спасибо, не претендую. У людей, желающих что-либо понять, обычно претензии скромнее.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #492852 писал(а):

Да не нужно никому всей этой псевдоматематики "на пальцах". Приведите, пожалуйста, корректное описание математической модели, отвечающей, с Вашей точки зрения, исходной задаче. Я, со своей стороны, это уже сделала выше. Вы - пока нет. Одна говорильня.

Видимо, Вы невнимательно читаете - корректную с моей точки зрения формализацию я приводил еще в самом начале (см. сообщение #492123"). А "ненужная псевдоматематика на пальцах и говорильня" - это обоснование ее адекватности, которое без этой самой говорильни обычно выполнить затруднительно. По крайней мере я попытался. С Вашей же стороны ничего подобного не было и, думаю, не имеет смысла ожидать - математикам, привычно имеющим дело уже с готовыми мат. моделями, обоснование не требуется, потому и смотрят они на него, как на схоластику. На сим предлагаю завершить эту дискуссию.

[--mS--]

_hum_ в сообщении #492888 писал(а):

Видимо, Вы невнимательно читаете - корректную с моей точки зрения формализацию я приводил еще в самом начале (см. сообщение #492123").

Если Вы считаете написанное в сообщении по приведённой ссылке формализацией (и описанием математической модели), то больше вопросов нет. Ни одного.

[_hum_]

(Оффтоп)

Замечательно. Это еще раз подчеркивает Ваше непонимание того, о чем речь, и оправдывает завершение дискуссии.

[--mS--]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #492932 писал(а):

Замечательно. Это еще раз подчеркивает Ваше непонимание того, о чем речь, и оправдывает завершение дискуссии.

Нет. Это подчёркивает лишь, в последнее время на данном форуме в темах по теории вероятностей люди с очень инженерным взглядом на теорию вероятностей (в которой, как известно, только ленивый не считает себя специалистом), пытаются протащить свои взгляды на способы решения вероятностных задач. Тогда как чисто вероятностные приёмы, которых они не понимают, подвергаются обструкции. Эдак скоро мы и теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной на отрезке функции полиномами будем в рамках вопроса по курсу теории вероятностей советовать доказывать, как в Фихтенгольце (впрочем, кажется, такое тут уже было - не зря вспомнила). Потому что всё остальное коллега _hum_ будет считать "махинациями". Неважно, что он не умеет построить адекватную математическую модель. Главное, три раза слово "махинации" произнести, и вуаля.

[_hum_]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #493010 писал(а):

Нет. Это подчёркивает лишь, в последнее время на данном форуме в темах по теории вероятностей люди с очень инженерным взглядом на теорию вероятностей (в которой, как известно, только ленивый не считает себя специалистом), пытаются протащить свои взгляды на способы решения вероятностных задач. Тогда как чисто вероятностные приёмы, которых они не понимают, подвергаются обструкции.

Извините, задача была не чисто теоретико-вероятностная (не была дана вероятностная модель, которую нужно было обсчитать), а содержательная, или Вашими словами "инженерная". Потому тут Ваши претензии на "протаскивание необразованными инженерами" своих требований к ее решению (обоснованности/адекватности), по меньшей мере странны - "поставщикам" задачи виднее, что обоснованно/адекватно, а что нет.

--mS-- в сообщении #493010 писал(а):

Эдак скоро мы и теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной на отрезке функции полиномами будем в рамках вопроса по курсу теории вероятностей советовать доказывать, как в Фихтенгольце (впрочем, кажется, такое тут уже было - не зря вспомнила).

Не понимаю, как это относится к теме разговора, и вообще, каким боком относится теорема Вейерштрасса к теории вероятностей (кроме как, что ее можно доказать, используя теоретико-вероятностную интерпретацию).

--mS-- в сообщении #493010 писал(а):

Потому что всё остальное коллега _hum_ будет считать "махинациями". Неважно, что он не умеет построить адекватную математическую модель. Главное, три раза слово "махинации" произнести, и вуаля.

У Вас, по всей видимости, какое-то свое собственное представление о том, что такое адекватная мат. модель, и, очевидно, пересматривать его Вы не считаете возможным. Что ж, Ваше право.

[--mS--]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #493213 писал(а):

Извините, задача была не чисто теоретико-вероятностная (не была дана вероятностная модель, которую нужно было обсчитать), а содержательная, или Вашими словами "инженерная".

То, что Вы не знаете, какая вероятностная модель должна отвечать параметрическому семейству распределений со случайным параметром, никак не означает, что эти модель не дана. Она дана самой постановкой. Никаких "условных вероятностных пространств" в ней нет и быть не должно, а есть две случайных величины на одном вероятностном пространстве, с заданным совместным распределением. Всегда, когда речь идёт об условных распределениях одной случайной величины по событиям относительно другой, эти две величины должны быть заданы на одном вероятностном пространстве. Почему сложение двух (независимых) величин на одном вероятностном пространстве объявлено "махинацией", видимо, так и останется для меня загадкой.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #493010 писал(а):

Эдак скоро мы и теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной на отрезке функции полиномами будем в рамках вопроса по курсу теории вероятностей советовать доказывать, как в Фихтенгольце

Не знаю, как в Фихтенгольце; вероятно (раз уж эта тема), что имелся в виду Бернштейн. Тогда это довольно-таки изящно. Хоть и безыдейно, не спорю.

[_hum_]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #493274 писал(а):

_hum_ в сообщении #493213 писал(а):

Извините, задача была не чисто теоретико-вероятностная (не была дана вероятностная модель, которую нужно было обсчитать), а содержательная, или Вашими словами "инженерная".

То, что Вы не знаете, какая вероятностная модель должна отвечать параметрическому семейству распределений со случайным параметром, никак не означает, что эти модель не дана. Она дана самой постановкой.

Да, не знаю, поскольку считаю фразу "параметрическое семейство распределений со случайным параметром" многозначной - математически ей не противоречит и модель случайного элемента $X: \omega \mapsto F_{\theta(\omega)}$ со значениями в пространстве всех функций распределений из заданного семейства, хотя, очевидно, к задаче она не имеет отношения. Так что насчет "все дано" я бы повоздержался.

--mS-- в сообщении #493274 писал(а):

Никаких "условных вероятностных пространств" в ней нет и быть не должно, а есть две случайных величины на одном вероятностном пространстве, с заданным совместным распределением. Всегда, когда речь идёт об условных распределениях одной случайной величины по событиям относительно другой, эти две величины должны быть заданы на одном вероятностном пространстве.

Очевидно, Вы просто не понимаете, что такое "условное вероятноcтное пространство", а условную вероятность наверняка считаете просто краткой записью отношения $P(\cdot B)/P(B)$. Не столько для Вас, сколько для тех, кто, может быть, только начал изучать ТВ, и не такой безаппеляционный, поясню:
вероятностная модель включает в себя две составляющие - измеримое пространство $(\Omega, \mathcal{F})$ и вероятнстную меру $P$, заданную на этом пространстве. При решении практических задач обычно не представляет труда построить измеримое пространство. Гораздо сложнее задать вероятностную меру. Из теоретических методов можно выделить: использование соображений симметрии задачи ("классическая вероятность"); использование соображений статистической независимости; использование априорных сведений о задаче вкупе с теоретико-вероятностными законами наподобие предельных теорем. Но все эти методы успешно работают только для достаточно простых вероятностных моделей. В более сложных на них рассчитывать не слишком приходится. Однако есть еще один важный метод, который позволяет поставлять в сложную модель информацию о вероятностях. Идея его проста: всякий сложный эксперимент можно рассматривать как состоящий из отдельных менее сложных. В частности, в качестве такого подэксперимента можно рассмотреть ту часть исходного эксперимента, в которой всегда реализуется некоторое заранее выбранное событие $B$. Поскольку подэсперимент ничем в таком случае не отличается от самостоятельного эксперимента, мы вправе применить к нему обычный формализм ТВ - то есть, описать его с помощью какой-то вероятностной модели $(\Omega_B, \mathcal{F}_B, P_B)$. Она более простая, потому можно ожидать, что в ней уже удастся теоретическим способом задать вероятность $P_B$. С другой стороны всегда можно считать, что $\Omega_B \simeq \Omega\cap B$, $\mathcal{F}_B \simeq \mathcal{F}\cap B$. Тогда, как вытекает из практических соображений (соотношений частот) и постулируется в ТВ, $P_B$ и $P$ оказываются с необходимостью связаны между собой соотношением $P_B(A) = P(AB)/P(B)$. Именно это и позволяет найденные в одной вероятностной модели результаты перенести в другую вер. модель (и обратно, если нужно).

--mS-- в сообщении #493274 писал(а):

Почему сложение двух (независимых) величин на одном вероятностном пространстве объявлено "махинацией", видимо, так и останется для меня загадкой.

При чем тут сложение двух величин. Речь шла о методе решения содержательной задачи, а именно, об его адекватности. Грубо говоря, у "инженера" было устройство У1, работа которого описывалась с помощью некоторого закона распределения с параметром. После этого устройство включили в схему с более сложным устройством У2, которое способно управлять значением параметра. В предположении случайного управления, требуется найти новый закон распределения для работы устройства У1. И Ваш метод решения выглядит следующим образом: рассмотрим другое устройство У1*, в котором в явном виде можно выписать формулу зависимости распределения от параметра. Теперь заменим в нем параметр на случайную величину. Тогда наверняка У1* станет давать такие же характеристики, как и У1 в составе У2-У1 и можно будет этим воспользоваться. Вам не кажется, что такая подмена одной схемы на другую и постулирование их эквивалентности требует обоснования?
В моем варианте это выглядит так: рассмотрим работу устройства У1-У2 как две отдельные: 1) генерирование У2 параметра и передача его устройству У1; 2) работа У1, как отдельного устройства с переданным параметром. На такую декомпозицию естественно ложится подход через условную вероятностную модель. Тем самым все оказывается обоснованным.