Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых

[nnosipov]

Будучи под впечатлением от post486451.html#p486451 , решил просмотреть рубрику "Математические досуги" журнала "Наука и жизнь" http://www.nkj.ru В конце (вполне разумной) статьи "ЕЩЕ РАЗ О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ РАЧИНСКОГО" (№10, 2007 год) сформулирована задача для читателей: докажите, что не существует натуральных чисел $n$ и $k$, которые удовлетворяли бы равенству

$$ n^3+(n+1)^3+\ldots+(n+k)^3=(n+k+1)^3+(n+k+2)^3+\ldots+(n+2k)^3. $$

Эта задача как раз из тех, что решаются в данной теме. Она попроще предыдущих, надеюсь, кто-нибудь её решит.

[DjD USB]

Sonic86 в сообщении #457555 писал(а):

Приводим к виду $4(x^2-1)^2=y^2(xy+1)$.
Далее - подстановка $t^2=xy+1$. Перебирая отдельно $x=0;-1$, получаем решения $(-1;0),(-1;1),(0;2),(0;-2)$. В остальных случаях $x \neq 0$ и $x^2-1 \geq 0$, а значит можно выразить $y=\frac{t^2-1}{x}$ и при извлечении корня получить равносильное уравнение:
$2(x^2-1)=\frac{t^2-1}{x}t \Leftrightarrow 2(x^3-x)=t^3-t$. У него можно найти решение при $x=3$.
Дальше не получается

(Оффтоп)

...говорила мне мама: "Не решай, сынок, диофантовы уравнения"....

Тебе же надо решать в Натуральных числах У меня один ответ Только получается (0;2)

[nnosipov]

DjD USB, решить уравнение $4(x^2-1)^2=y^2(xy+1)$ в натуральных числах --- это непростая задача. Нужно не только указать какие-то решения этого уравнения, но и доказать, что других решений нет.

[Sonic86]

Что-то как-то странно.
Метод Рунге, по идее, должен сработать для исходного уравнения $4x^4-xy^3-8x^2-y^2+1=0$ (поскольку $y \sim \sqrt[3]{4}x$ - коэффициент - алгебраическое число степени $3$, а $3<4$ - степени уравнения), однако уже так просто не срабатывает для уравнения $2x^3-t^3=2x-t$, поскольку здесь алгебраическая степень коэффициента совпадает со степенью уравнения. Правильно?

Просто если правильно, то это странно. Обычно если какой-то метод решает задачу, то независимо от того, выполнили ли предварительно другой метод или нет (он с ним как бы коммутирует по применимости)

[nnosipov]

Sonic86, дело в том, что уравнение $2x^3-t^3=2x-t$ мы решаем при дополнительном ограничении $\gcd{(x,t)}=1$ (вспомните, кто такой $t$; я на это уже раньше намекал). А это гораздо проще сделать, чем решить его без каких-либо ограничений. (Открою небольшой секрет: на Санкт-Петербургской олимпиаде 2005 года одна из задач состояла в том, чтобы решить уравнение $2x^3-t^3=2x-t$ при условии $\gcd{(x,t)}=1$. Я эту задачу свёл к уравнению, к которому применим метод Рунге, а Вы вернули мою задачу к исходной формулировке .)

[Klad33]

$4x^4-xy^3-8x^2-y^2+4=0$.

$4(x^2-1)^2=y^2(xy+1)$

$x_{1,2}=\pm 4 \, ; \quad y_{1,2}=\pm 6 $

$x_{3,4}=\pm 1 \, ; \quad y_{3,4}=0 $

$x_{5,6}=0 \, ; \quad y_{5,6}=\pm 2 $

$x_{7,8}=\pm 1 \, ; \quad y_{7,8}=\mp 1 $

[nnosipov]

Klad33, неужели Вы думаете, что это простая задача? Попробуйте-ка доказать, что Вы нашли все решения.

[Klad33]

Интересно, а разве есть еще решения? Из тождества ну никак не вытекают.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #493189 писал(а):

Из тождества ну никак не вытекают.

Ещё решений может быть и нет (я уже не помню, а проверять лень), а вот то, что они "ну никак" не вытекают --- это надо доказывать. И доказательство непростое.

[Klad33]

Я доказательство строил в три этапа:
1) легко доказать, что при y>|1| он может быть только четным;
2) исходя из 1) доказывается, что и x>|1| также может быть только четным.
3) Нет никаких других целых значений x=2*a и y=2*b , кроме a=|2| и b=|3|, которые удовлетворяли бы второму тождеству:

$(4a^2-1)^2=b^2(4ab+1)$

или

$4a^2-1=b \sqrt{4ab+1}$

Если найдете иные a и b, (кроме a=0 и b=-1) - я Вам поставлю памятник.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #493208 писал(а):

3) Нет никаких других целых значений x=2*a и y=2*b , кроме a=|2| и b=|3|, которые удовлетворяли бы второму тождеству:

$(4a^2-1)^2=b^2(4ab+1)$

Где доказательство?

-- Пн окт 17, 2011 00:29:45 --

nnosipov в сообщении #493216 писал(а):

Если найдете иные a и b - я Вам поставлю памятник.

Когда нечего сказать, лучше ничего не говорить.

[Klad33]

Такие доказательства проходят на 2-м курсе университета. Если не верите, дайте контрпример.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #493221 писал(а):

Такие доказательства проходят на 2-м курсе университета.

Чтобы судить об этом, нужно знать хотя бы одно доказательство (а их имеется по крайней мере два). Вы же пока не привели ни одного.

(Оффтоп)

И вообще, если у Вас есть желание просто поболтать, делайте это где-нибудь в другом месте. Если же хотите действительно разобраться в вопросе, лучше почитайте эту тему с самого начала. Тогда и поговорим.

[nnosipov]

Ещё один пример: уравнение $xy^3-x^3-y^3+y^2=0$ в натуральных числах имеет единственное решение $(x,y)=(1,1)$. Есть ли здесь простое доказательство?

[venco]

nnosipov в сообщении #494110 писал(а):

Ещё один пример: уравнение $xy^3-x^3-y^3+y^2=0$ в натуральных числах имеет единственное решение $(x,y)=(1,1)$. Есть ли здесь простое доказательство?

Вроде есть. Можно доказать, что в целых числах должно быть $y^2=\pm x^3$.
А нет. Поспешил.