Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых

[nnosipov]

При больших $x$ имеем $y^3=x^2+x-\sqrt[3]{x}/6+\ldots$ (вот этот $\sqrt[3]{x}$ всё и портит). Исходное уравнение можно легко свести к уравнению $ab^5-a^3-b^3+1=0$, но оно не кажется проще.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #494115 писал(а):

Исходное уравнение можно легко свести к уравнению $ab^5-a^3-b^3+1=0$, но оно не кажется проще.

Для него, если $a+b$ нечетно, можно доказать, что $a-b$ - квадрат. Только дальше это не помогает

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #463026 писал(а):

А что скажете о таком уравнении:

$$ 2x^4-xy^3+y^3-y^2=0? $$

Вполне вероятно, здесь есть "левый" путь решения, уравнение совсем уж коротенькое. Было бы интересно и его найти.

Это было опубликовано в виде задачи 5386 в журнале "Математика в школе" (№ 9 за 2014). И, судя по статистике, читатели живенько её решили! Но я в упор не вижу здесь решения "левым способом". Может, кто-нибудь увидит?

[Deggial]

Пост TR63 отделён по тем же причинам: замусоривание темы неспособностью найти ошибки.

[nnosipov]

Вот что сочинилось.

I. Пусть $d=\gcd{(x,y)}$ и $x_1=x/d$, $y_1=y/d$. Имеем $2d^2x_1^4-d^2x_1y_1^3+dy_1^3-y_1^2=0.$ Видно, что $2d^2x_1^4$ делится на $y_1^2$. Поскольку числа $x_1$ и $y_1$ взаимно просты, отсюда следует делимость $2d^2$ на $y_1^2$. Но тогда $d$ делится на $y_1$, т.е. $d=ky_1$ для некоторого натурального $k$. После подстановки и сокращения на $y_1^2$ получим $ 2k^2x_1^4-k^2x_1y_1^3+ky_1^2-1=0. $ Теперь ясно, что $k=1$, и мы приходим к уравнению

$$ 2x_1^4-x_1y_1^3+y_1^2-1=0. \eqno(*) $$

II. Из уравнения $(*)$ следует неравенство $y_1>x_1$, так как иначе

$$ 0=x_1(2x_1^3-y_1^3)+y_1^2-1 \geqslant x_1(2x_1^3-y_1^3) \geqslant x_1(2x_1^3-x_1^3)=x_1^4. $$

С другой стороны, верно неравенство $y_1<2^{1/2}x_1$, ибо в противном случае

$$ 2x_1^4-1=y_1^2(x_1y_1-1) \geqslant 2x_1^2(2^{1/2}x_1^2-1)=2^{3/2}x_1^4-2x_1^2, $$

что также невозможно.
III. Перепишем теперь уравнение $(*)$ в виде $ 2x_1^4-1=y_1^2(x_1y_1-1). $ Ясно, что $2x_1^4-1$ должно делиться на $x_1y_1-1$. Тогда $2x_1^3-y_1=y_1(2x_1^4-1)-2x_1^3(x_1y_1-1)$ и $2x_1^2-y_1^2=y_1(2x_1^3-y_1)-2x_1^2(x_1y_1-1)$ также делятся на $x_1y_1-1$. Но это противоречит двойному неравенству

$$ 0<2x_1^2-y_1^2<x_1y_1-1, \eqno(**) $$

вытекающему из оценок п. II. В самом деле, левое неравенство в $(**)$ очевидно, а правое получается так:

$$ y_1(x_1+y_1) \geqslant (x_1+1)(2x_1+1)=2x_1^2+3x_1+1>2x_1^2+1. $$

В общем, какое-то заметание под ковёр, зато по-школьному.