Радиус сходимости степенного ряда

[probably]

Решал задачу на интегрирование дифференциального уравнения с помощью степенных рядов. Уравнение выглядит так: $(3\sin{2t}+10)\ddot{x}+3x=0$
Соответственно, представив решение в виде ряда $\varphi(t)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k$ и подставив его в уравнение, я получил рекуррентное соотношение для коэффициентов решения: $c_k=\frac{3}{10}\frac{c_{k-2}+(k-2)(k-1)c_{k-1}}{k(k-1)}, k\ge2$, c_0=0, c_1=1. Теперь вот не могу сообразить, как радиус сходимости решения вычислить? В Лизоркине и Эльсгольце есть теоремы на этот счет, но там коэффициент при $\ddot{x}$ равен единице. Если же разделить моё уравнение на $(3\sin{2t}+10)$, то что делать с $\frac{3}{3\sin{2t}+10}$ при $x$? Разложить его в ряд и определить его радиус сходимости? Уж проще разобраться с рядом из $c_k$... Может где-нибудь есть похожий пример, чтобы на нём понять, что к чему?

[Vince Diesel]

Можно поробовать рассмотреть последовательность $d_k=k(k-1)c_k$, это слегка упростит рекуррентное соотношение.

[AlexValk]

Наверное Вы имели в виду не $\varphi(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k$, а $x(t)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k t^k$.

Тогда, если говорить о Вашем двучленном рекуррентном соотношении $c_k=\frac{3}{10}\frac{c_{k-2}+(k-2)(k-1)c_{k-1}}{k(k-1)}$, то более-менее общий метод такой:
Переписав его в виде $\frac{c_k}{c_{k-1}}=\frac{3}{10}\frac{1}{k(k-1)}\frac{c_{k-2}}{c_{k-1}}+\frac{3}{10}\frac{k-2}{k}$, найдем, после перехода к пределу $k\to\infty$ (обозначив $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{c_k}{c_{k-1}}=\frac{1}{R}$) радиус сходимости $R=10/3$.
В более общем случае $m$-членного рекуррентного соотношения $c_k=A^{(1)}_kc_{k-1}+A^{(2)}_k c_{k-2}+\dots+A^{(m)}_k c_{k-m}$ возникает уравнение $m$-го порядка на $R$: $1=\lim\limits_{k\to\infty}A^{(1)}_k+R\lim\limits_{k\to\infty}A^{(2)}_k +\dots+R^m\lim\limits_{k\to\infty}A^{(m)}_k $, когда соответствующие пределы существуют.

Однако... . Почему Вы пишите $c_0=0$, $c_1=1$? У Вас, что - есть начальные условия $x(0)=0$ и $x'(0)=1$, которые Вы не привели?
И самое главное - у меня есть сильные сомнения, в том что Ваше рекуррентное соотношение правильно.

Вообще, в этой задаче при поиске решения в виде ряда, наверное, разумнее было бы использовать не представление решения в виде степенного ряда, а в виде ряда Фурье: $x(t)=a_0/2+\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k\cos kt +b_k \sin kt)$. И искать рекуррентные соотношения между $a_k, b_k$. Но тут уж, конечно, зависит от того как поставлена Ваша задача.

[probably]

Цитата:

Наверное Вы имели в виду не $\varphi(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k$, а $x(t)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k t^k$

Да, опечаточка вышла...

Цитата:

У Вас, что - есть начальные условия, которые Вы не привели?

Да. Задача поставлена так: интегрированием дифференциального уравнения с помощью степенных рядов нужно найти два линейно независимых решения. По-этому, взяв начальные условия $x_1(0)=0, \dot{x_1}(0)=1$ и $x_2(0)=1, \dot{x_2}(0)=0$ ($t_0=0$), я получу то, что нужно.

Цитата:

И самое главное - у меня есть сильные сомнения, в том что Ваше рекуррентное соотношение правильно.

Что ж, пересчитаю

[Padawan]

Это линейное уравнение. Ваш ряд будет заведомо сходится в круге с радиусом, равным расстоянию до ближайшей особой точки коэффициентов уравнения. То есть до ближайшего нуля функции $3\sin 2t+10$.

[probably]

Padawan в сообщении #492818 писал(а):

Это линейное уравнение. Ваш ряд будет заведомо сходится в круге с радиусом, равным расстоянию до ближайшей особой точки коэффициентов уравнения. То есть до ближайшего нуля функции $3\sin 2t+10$.

Хотелось бы узнать теорему, из которой следует сей факт. Получается, что радиус сходимости будет комплексным? Ведь $3\sin 2t+10\ge7$ для вещественных $t$. Первый раз такое встречаю

[ewert]

probably в сообщении #493115 писал(а):

Хотелось бы узнать теорему, из которой следует сей факт.

Из теоремы существования решения. Теорема Пикара для конкретно линейных уравнений усиливается до: "решение существует на любом промежутке, на котором коэффициенты хорошие".

probably в сообщении #493115 писал(а):

Получается, что радиус сходимости будет комплексным?

Радиус сходимости -- это расстояние. Как расстояние может быть комплексным?...