Кубик и законы сохранения

[phys]

В момент времени $t=0$ система находиться в положении покоя, точка M находится в положении $M_0$.
Без начальной скорости точка скатывается по гладкой трубке. Соответственно куб, с длинной ребра $a$ начинает раскручиваться в положительном направлении $\varphi$.
Найти: относительные скорость и ускорение $v_r$ и $a_r$ точки M в момент вылета из трубки, угловые скорость и ускорение $\omega$ и $\varepsilon$ куба в тот же момент.
Масса куба $M$, масса мат. точки $m$

Фиг. 1

Классика жанра, законы сохранения кинетического момента (не знаю почему физики говорят "сохранение момент импульса" а кафедра теомеха предпочитает сохранять "кинетический момент", ну да ладно).

$I$ - момент инерции куба.

Сохраняем кинетический момент:

$$I\omega = M(mv_r) + M(mv_e) \qquad (1)$$

Тут у нас $v_r$ относительная скорость $v_r = \dot{s}$, $v_e$ - переносная скорость $v_e = \omega h$ где $h$ - расстояние от оси до точки. Закон изменения этого расстояния достаточно жесток. Фиг. 2 и теорема косинусов дает такой вот результат:

Фиг. 2

$$h^2 = \frac {a^2}{2} + \frac{s^2}{2} - \frac{as}{\sqrt{2}}$$

Тогда вектор относительного импульса точки сначала проецируем на ось, перпендикулярную оси $Oz $, а потом умножаем на плечо:

$$M(mv_r) = \frac{m\dot{s}a}{2\sqrt{2}}$$

Для переносной составляющей:

$$M(mv_e) = m \omega h^2$$

Итого $(1)$ перепишем в виде:

$$I\omega = \frac{m\dot{s}a}{2\sqrt{2}} + m \omega h^2$$

Выражаем отсюда $\dot{\varphi} = \omega$:

$$\dot{\varphi} = \frac{ma \dot{s}}{2\sqrt2 (I - mh^2)}$$

Задача с двумя степенями свободы, можно и нужно записать еще одно уравнение:

$$\frac{I\omega^2}{2} = \frac{m(\bar{v}_e + \bar{v}r)^2}{2} = \dots = \frac{m}{2}(h^2\omega^2 + \dot{s}^2 + h\omega \dot{s}) \qquad (2)$$

Ключевой момент: как решить такую систему уравнений относительно $s$ и $\varphi$, или их производных, короче как нибудь. Строго говоря как вообще решить эту задачу?

$$ \begin{cases} \dot{\varphi}^2 = \frac{m}{I}(h^2\omega^2 + \dot{s}^2 + h\omega \dot{s}) \\ \\ \dot{\varphi} = \frac{ma \dot{s}}{2\sqrt2 (I - mh^2)} \end{cases} $$

(Оффтоп)

Пока набирал пришла мысль "взять и подставить второе в первое". Сейчас попробую, потом напишу что получилось, но, боюсь ничего хорошего не выйдет. И не выходит, диффур, даже не просто диффур, а "огого диффур!"

[venco]

Скорее всего, подразумевается, что трения нет.
Тогда не проще ли будет использовать закон сохранения энергии?
Вроде бы без дифуров можно будет обойтись.

[phys]

Да, трения нет.
А уравнение 2 как раз этот самый закон не описывает?

[venco]

А, ну да.
А зачем вы $\dot{\varphi}$ вместо $\omega$ вставили?
У вас ведь простая система уравнений на $\omega$ и $\dot s$.

[phys]

Ну, не суть важно, можно подставить $\omega$ и решать относительно него, или подставить $\dot{\varphi}$ и (не поверите) решать относительно него. Дело в том что $h$ это функция времени, ну или функция расстояния строже говоря. Поэтому решить данную систему достаточно проблематично на мой взгляд. Я так понял мне в раздел "Математика" или можно еще что то с физической точки зрения сделать?

[Парджеттер]

Переношу из ПРР(Ф) в МиТ

[venco]

Всю траекторию посчитать сложно, т.к., действительно, $h$ зависит от времени. Но в задаче-то спрашивается не вся траектория, а скорость в определённый момент.
С ускорением будет немного сложнее. Если продифференциировать уравнения, считая $h$ независимой функцией по времени, то в результате будут уравнения с ускорениями и $\dot h$, a $\dot h$ можно выразить через уже найденые скорости.

[phys]

Ошибка в формуле $(2)$. Сумма левой и правой части должна равняться работе внешних сил, оттуда и получается для $h = \frac{a}{\sqrt{2}}$ можно найти $\dot{s}$ и $\dot{\varphi}$

(Оффтоп)

Право же, самые умные мысли приходят в 5 утра.

[espe]

phys в сообщении #492625 писал(а):

Итого $(1)$ перепишем в виде:

$$I\omega = \frac{m\dot{s}a}{2\sqrt{2}} + m \omega h^2$$

ИМХО "переносной момент" и "относительный" имеют разное направление. Поэтому $(1)$ вроде бы должно иметь вид

$$I\omega = \frac{m\dot{s}a}{2\sqrt{2}} - m \omega h^2$$

[obar]

Неправильно записан не только закон сохранения углового момента, но и закон сохранения энергии (уравнение (2)). На момент вылета шарика эти уравнения имеют вид

$$ I\omega=m\Big(\frac{a\dot{s}}{2\sqrt{2}}-\frac{a^2\omega}{2}\Big); $$

$$ \frac{I\omega^2}{2}+\frac{m}{2}\Big(\dot{s}^2+\frac{\omega^2a^2}{2}-\frac{\omega a\dot{s}}{\sqrt{2}}\Big)=mga. $$

Имеем два уравнения на две неизвестные.

[phys]

Всем спасибо, основную часть задачи решил.

Осталось найти силу давления (?, видимо в совке так выражались "сила реакции опоры") мат. точки на трубку. Препод что то говорил про принцип Д'Аламбера, он тут актуален?

Вообще для нахождения реакции трубки, нужно рассматривать инерциальную СО или не инерциальную, связанную с кубом СО учитывая силу Кориолиса и силы Эйлера?

-- Чт окт 20, 2011 13:43:13 --

Посмотрел Википедию.

Цитата:

Д’Аламбера принцип — в механике: один из основных принципов динамики, согласно которому, если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил.

$$m\bar{g} + \bar{N} + \bar{\Phi}_{kor} + \bar{\Phi}_e = 0$$

Где $\bar{\Phi}_{kor}\ \bar{\Phi}_e$ - силы инерции.

На сколько я понял от меня просят найти из этого уравнения $N$?

[phys]

Так, свежие мысли.

$$m\bar{a} = \bar{N}_1 + \bar{N}_2 + m\bar{g}$$

где $\bar{a} = \bar{a}_{kor} + \bar{a}_e + \bar{a}_r = \bar{a}_{kor} + \bar{a}_e^n + \bar{a}_e^{\tau} + \bar{a}_r$

Проецируем на OX и OY, с учетом того что оси направлены как-то, и $N_1$ и $N_2$ тоже как-то (: Впринципе это не важно, как угодно направляй, принципиально система уравнений от этого не измениться. Картинку просто рисовать не охото.

Получаем:

$$ \begin{cases} \frac{m}{\sqrt2}(2\omega v_r+\varepsilon h - \omega ^2 h ) = -N_2\\ \\ m(-\frac{v_r}{\sqrt{2}}) = -mg + \frac{N_1}{\sqrt{2}} \end{cases} $$

Решаем систему относительно $N_1,\ N_2$

[XP1]

Здравствуйте! Правильно ли мое предположение, что траектория точки от начала движения до половины трубы является прямой в пространстве?

[phys]

А вот фиг его знает. Задачу я давно решил и сдал, вприницпе если нужно могу накидать дифф. уравнения движения точки которые у меня там получались (их вроде тут нет, тут половина неправильно). Если вы из них что то выжмете (например функцию положения точки от времени, конечно только с помощью матпакетов) то флаг вам в руки.