как лучше записывать функции от функций?

[spyphy]

Вопрос чисто формальный, но всё же довольно важный.
Попался значит такой пример. Есть некое отображение $ S: \mathbb{R} \to S(V) $, $ (S(t)f)(x) = f(e^t x) $, где $ V $ - пространство многочленов, $ t \in \mathbb{R}, f \in V $.
Смущает собственно запись $(S(t)f)(x) $.
В привычной для меня записи имеем:
$ S(t_1+t_2) [f(x)] = f(e^{t_1}e^{t_2}x) = S(t_1) [f(e^{t_2}x] = S(t_1)[S(t_2)[f(x)]] = (S(t_1)S(t_2))[f(x)] $
А во второй записи (менее понятной) получается
$ (S(t_1+t_2) f) (x) = f(e^{t_1}e^{t_2}x) = f(e^{t_2}e^{t_1}x) = (S(t_2)f) (e^{t_1}x) = S(t_1)(S(t_2)f) (x)=??? $
Хотелось бы узнать есть ли разница и что лучше?

[arseniiv]

Я бы написал $S(t)(f)(x)$, или $((S(t))f)(x)$, или $S_t(f)(x)$, или $S_t[f](x)$.

-- Ср окт 12, 2011 23:28:47 --

А ещё можно $(S(t) \circ f)(x)$ или, опустив ненужные скобки, $S(t) \circ f(x)$, хотя последнее выглядит неудобно несмотря на то, что прочитать это можно только одним образом.

-- Ср окт 12, 2011 23:39:24 --

spyphy в сообщении #491938 писал(а):

Хотелось бы узнать есть ли разница и что лучше?

Разницы никакой нет, когда вы знаете, что конкретно формально записанное подразумевается под той или иной более-менее неформальной записью. Скорее всего, наиболее точным описанием ваших вещей будет $((S(t))(f))(x)$. Правда, это недостаточно формально. Тут скобки имеют два значения — группировки выражений в одно и применения функции (вторые можно опустить все здесь, хотя $((St)f)x$ тоже выглядит непривычно).

-- Ср окт 12, 2011 23:50:32 --

$((S(t + u))f)(x) = f(e^{t + u}\cdot x) = f(e^{u + t}\cdot x) = f((e^u\cdot e^t)\cdot x) = f(e^u\cdot (e^t\cdot x)) =$
$ = ((S(u))f)(e^t\cdot x) = ((S(t))((S(u))f))(x) = (((S(t))(S(u)))f)(x)$.

Вот так достаточно формально.

-- Ср окт 12, 2011 23:58:22 --

А ещё формальнее будет $((S \circ (t + u)) \circ f) \circ x = f \circ (e^{t + u} \cdot x) = f \circ (e^{u + t} \cdot x) = f \circ ((e^u \cdot e^t) \cdot x) =$
$ = f \circ (e^u \cdot (e^t \cdot x)) = ((S \circ u) \circ f) \circ (e^t \cdot x) = ((S \circ t) \circ ((S \circ u) \circ f)) \circ x = $
$ = (((S \circ t) \circ (S \circ u)) \circ f) \circ x$, но так вообще нигде не принято. Зато скобки только группирующие.

P. S. Я где-то скобку потерял.

-- Чт окт 13, 2011 00:09:01 --

Мне тут шепнули, что вы неверно записали, откуда и куда $S$ (а я просмотрел). На самом деле это будет выглядеть вот так: $S\colon \mathbb R \times V \to V'$. Штрих от балды лишь для различения. В самом деле, на многочленах $V \ne V'$, но только у вас запись $S(V)$ двусмысленная, а при других $V$ может быть $V = V'$.

[spyphy]

Цитата:

Мне тут шепнули, что вы неверно записали, откуда и куда $S$ (а я просмотрел). На самом деле это будет выглядеть вот так: $S\colon \mathbb R \times V \to V'$.

Не исключено. Я то из учебника переписывал. Вероятно, автор решил не вдаваться в подробности.

Меня здесь только переход

Цитата:

$f(e^u\cdot (e^t\cdot x)) = ((S(u))f)(e^t\cdot x) $

немного смущал, потому что его по всей видимости можно выполнить несколькими способами, а именно:
$ L(x) = f(e^u (e^t x)) = f_1 (e^t x) = [S(t)f_1](x) $
где мы ввели новую функцию $ f_1(y) := f(e^u y) = [S(u)f](x) $
и поэтому далее имеем:
$ L(x) = [S(t)(S(u)f)](x) $.
Но вроде решение сходится, тогда всё нормально. Записывать конечно можно по разному, мне главное понимать смысл того что делается...

-- Ср окт 12, 2011 23:36:10 --

Еще, для закрепления материала, случай
$(S(t)f)(x) = e^t f(x) $
Как я понимаю $(x)$ здесь вообще не приделах, т.е. можно запись $e^t f(x)$ надо понимать как $(e^t f)(x)$? и тогда можно писать просто $S(t)f = e^t f$.
Но для формальности всё же оставлю этот $(x)$:
$ [S(t+u)f](x) = (e^{t+u} f) (x) = (e^t (e^u f))(x) = [S(t)[e^u f]] (x) = [S(t) [S(u) f]] (x) = [(S(t) \cdot S(u))f](x) $
Грамотно получилось?

-- Ср окт 12, 2011 23:54:16 --

Правда вот в случае $(S(t)f)(x) = f(x)+t $ получается страннова-то. Можно ли считать, что $f(x)+t = (f+t)(x)$, понимая $t \in \mathbb{R}$ как многочлен нулевой степени? В таком случае получается
$ [S(t+u)f](x) = f(x)+(t+u) = (f+t+u)(x) = ((f+u)+t)(x)= [S(u)f+t](x) = [S(t)[S(u)f]](x) = [(S(t) \cdot S(u))f](x) $
Вроде бы нормально, но в ответах к задаче написано НЕТ (т.е. не является гомоморфизмом). В чем ошибка?

[arseniiv]

spyphy в сообщении #491986 писал(а):

Как я понимаю $(x)$ здесь вообще не приделах

Вы можете его опускать только тогда, когда уверены, что точно не перепутаете функцию с её значением в точке $x$.

spyphy в сообщении #491986 писал(а):

Грамотно получилось?

Не уверен, что композицию операторов приянто записывать как $S(t) \cdot S(u)$ (последний шаг).

spyphy в сообщении #491986 писал(а):

Можно ли считать, что $f(x)+t = (f+t)(x)$, понимая $t \in \mathbb{R}$ как многочлен нулевой степени?

Дабы не сильно делать путаницу, лучше написать $(f + T)(x)$, где $T(x) = t$.

spyphy в сообщении #491986 писал(а):

Вроде бы нормально, но в ответах к задаче написано НЕТ (т.е. не является гомоморфизмом). В чем ошибка?

Чтобы $S(t)$ было гомоморфизмом, надо совсем другое проверять! Надо, чтобы $S(t)[f + g] = S(t)[f] + S(t)[g]$ и $S(t)[f \cdot g] = S(t)[f] \cdot S(t)[g]$. Если мы рассматриваем $V$ и $V'$ как кольца.

-- Чт окт 13, 2011 20:55:23 --

(Мне кажется, что я что-то перепутал, но что ещё по отношениюк чему может здесь быть гомоморфизмом?)

[spyphy]

arseniiv в сообщении #492194 писал(а):

(Мне кажется, что я что-то перепутал, но что ещё по отношениюк чему может здесь быть гомоморфизмом?)

Имеется в виду гомоморфизм $ S: \mathbb{R} \to S(V) $, или точнее надо показать, что это есть представление (аддитивной) группы $ \mathbb{R} $ операторами вида $ S(t) $, которые действуют на пространстве многочленов $ V $. Извиняюсь, что сразу не пояснил.

Цитата:

Не уверен, что композицию операторов приянто записывать как $S(t) \cdot S(u)$ (последний шаг).

там вроде как по определению (ну или $S(t) \circ S(u)$ если хотите)