Значение корня (приближение)

[Aden]

При решении задачи нужно использовать
$ \[\sqrt {1 + a} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot a,при a \ll 1\] $. Как объяснить использование этого приближения?

[Praded]

Возвести обе части в квадрат.

[nnosipov]

Если знаете, что такое касательная, то это несложно понять.

[Joker_vD]

Если я правильно помню, эта формула дает значение корня с избытком, и абсолютная погрешность не превосходит $\frac{a^2}{8}$.

[Aden]

Если возвести обе части в квадрат, то
$ 1 + a \approx 1 + a + \frac{{{a^2}}}{4} \\ 1 + 0,1 \approx 1 + 0,1 + \frac{{0,01}}{4} \\ \end{array}\] $
Так, что правильный ответ будет " эта формула дает значение корня с избытком" ? :)

[arseniiv]

Так вам надо объяснить это в решении задачи? Напишите что-нибудь про дифференциалы.

-- Пн окт 10, 2011 23:46:22 --

Можно ещё написать, что $\frac{a^2}4$ бесконечно мала по отношению к $a$ при $a \to 0$.

[Aden]

Да, мне в задаче нужно объяснить помечу я использовал эту формулу.
$ \[{l_2} - {l_1} = {l_1} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {H/{l_1}} \right)}^2}} - {l_1} = {l_1} \cdot \left( {\sqrt {1 + {{\left( {H/{l_1}} \right)}^2}} - 1} \right) \approx {l_1} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot {{\left( {H/{l_1}} \right)}^2} - 1} \right) = \frac{{{H^2}}}{{2{l_1}}}\] $

[arseniiv]

А, физика? Тогда можно не объяснять.

По идее, должно нормальным быть

arseniiv в сообщении #491438 писал(а):

Можно ещё написать, что $\frac{a^2}4$ бесконечно мала по отношению к $a$ при $a \to 0$.

(Конечно же, всё это прямым образом связано с предыдущими ответами.)

[Утундрий]

Aden
Так всё же уже написано. Первая формула работает, когда $a$ много меньше единицы. Кто у нас во второй формуле $a$? А не много меньше ли оно единицы? Вот как-то так и "обосновывайте"...

[Aden]

Спасибо за помощь!!! :)