2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Значение корня (приближение)
Сообщение10.10.2011, 20:08 
При решении задачи нужно использовать
$
\[\sqrt {1 + a}  \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot a,при a \ll 1\]
$. Как объяснить использование этого приближения?

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:13 
Возвести обе части в квадрат.

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:17 
Если знаете, что такое касательная, то это несложно понять.

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:25 
Если я правильно помню, эта формула дает значение корня с избытком, и абсолютная погрешность не превосходит $\frac{a^2}{8}$.

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:38 
Если возвести обе части в квадрат, то
$
 1 + a \approx 1 + a + \frac{{{a^2}}}{4} \\ 
 1 + 0,1 \approx 1 + 0,1 + \frac{{0,01}}{4} \\ 
 \end{array}\]
$
Так, что правильный ответ будет " эта формула дает значение корня с избытком" ? :)

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:43 
Так вам надо объяснить это в решении задачи? Напишите что-нибудь про дифференциалы.

-- Пн окт 10, 2011 23:46:22 --

Можно ещё написать, что $\frac{a^2}4$ бесконечно мала по отношению к $a$ при $a \to 0$.

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:47 
Да, мне в задаче нужно объяснить помечу я использовал эту формулу.
$
\[{l_2} - {l_1} = {l_1} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {H/{l_1}} \right)}^2}}  - {l_1} = {l_1} \cdot \left( {\sqrt {1 + {{\left( {H/{l_1}} \right)}^2}}  - 1} \right) \approx {l_1} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot {{\left( {H/{l_1}} \right)}^2} - 1} \right) = \frac{{{H^2}}}{{2{l_1}}}\]
$

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:53 
А, физика? Тогда можно не объяснять. :mrgreen:

По идее, должно нормальным быть
arseniiv в сообщении #491438 писал(а):
Можно ещё написать, что $\frac{a^2}4$ бесконечно мала по отношению к $a$ при $a \to 0$.

(Конечно же, всё это прямым образом связано с предыдущими ответами.)

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 20:53 
Аватара пользователя
Aden
Так всё же уже написано. Первая формула работает, когда $a$ много меньше единицы. Кто у нас во второй формуле $a$? А не много меньше ли оно единицы? Вот как-то так и "обосновывайте"...

 
 
 
 Re: Значение корня
Сообщение10.10.2011, 21:00 
Спасибо за помощь!!! :)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group