Задача о смене шин

[linpy]

Условие
Запас хода передних шин 36 000 км
Запас хода задних 24 000 км
Определить расстояние на котором надо поменять шины, если путь должен быть максимальным
Я пытаюсь найти скорость лысения шин, однако безуспешно, возможно иду не в ту степь, а может и в ту, но тогда нужно натолкнуть для продолжения пути.

[Joker_vD]

Ну, на 24000 км и надо менять.

[nnosipov]

Предположите, что шины поменяли через $x$ тысяч километров, и вычислите путь $S=S(x)$, который пройдёт машина до полного износа каких-либо шин. Потом найдите $x$, при котором $S(x)$ достигает своего максимума.

-- Пн окт 10, 2011 01:17:22 --

Joker_vD в сообщении #491057 писал(а):

Ну, на 24000 км и надо менять.

Всё должно быть гармонично.

[linpy]

Спасибо что то похожее в голове крутится

-- 09.10.2011, 23:05 --

Вычислить расстояние пока непонятно как
Допустим машина проехала 1 000 км. Это значит что уменьшился запас обоих шин на 1 000 км. И соответственно макисимум расстояния это 24 000 км, но здесь явно что то не то в рассуждении

-- 09.10.2011, 23:14 --

Ведь от смены шин запас то пути не увеличивается , по крайней мере не видно каким образом это могло бы случится

[Maslov]

linpy в сообщении #491066 писал(а):

Ведь от смены шин запас то пути не увеличивается , по крайней мере не видно каким образом это могло бы случится

Под сменой шин здесь понимается переброска задних вперед, а передних - назад. Если шины не менять, то запас хода будет 24000 км, при этом передние шины сносятся полностью, а задние -- только на 2/3.

Но если мы, например, поменяем шины местами после пробега в 12000 км, то задние к этому моменту сносятся на 1/3 (следовательно, смогут пройти спереди еще 16000 км), а передние -- на 1/2 (смогут пройти сзади еще 18000 км); т.о., путь при этом будет 12000 + 16000 = 28000. Но это тоже не максимум, т.к. к моменту полного износа шин, стоящих на передней оси, стоящие сзади могут пройти еще 2000 км. А максимум как раз и надо найти.

[Joker_vD]

У шин есть не запас километров, а, скорее, запас целостности. В начале он равен $1$ и у передних, и у задних шин, и с каждым километром он уменьшается на $\frac1{36000}$ у передних шин и на $\frac1{24000}$ у задних.

[svv]

Рассмотрим одну переднюю и одну заднюю шину. Их суммарный запас целостности равен 2.
Заметим, что суммарная скорость изнашивания этих шин равна $\frac1{36000}+\frac1{24000}$, и она не изменяется при перестановке шин.
Деля суммарный запас на суммарную скорость изнашивания, найдем длину пути, в конце которого износ обеих шин будет полным.

[linpy]

вопрос к svv:
Получается перестановка шин теряет смысл?

[svv]

Ни в коем случае!
Я показал, как найти максимальную длину пути в предположении, что в конце износ обеих шин полный. Это означает, между прочим, что износ обеих шин одинаков.
Если шины не менять местами, путешествие закончится раньше. Задние будут изношены полностью, передние -- нет (см. пост Maslov'а).

Путешествие заканчивается, когда хоть одна из шин износилась полностью. Если при этом другая шина еще "живая", значит, можно было бы проехать и больше при правильной стратегии, если бы только водитель сумел применить математику.

Перемена местами шин как раз и позволяет выровнять их износ к концу путешествия, чтобы можно было с полным основанием сказать: "я выжал из шин все, что мог".

[linpy]

Да согласен

[Maslov]

svv в сообщении #491119 писал(а):

Если шины не менять местами, путешествие закончится раньше. Задние будут изношены полностью, передние -- нет (см. пост Maslov'а).

Только вот Maslov все перепутал и исходил из того, что задние шины ходят 36000 км, а передние - 24000 км.

[faruk]

nnosipov в сообщении #491058 писал(а):

Всё должно быть гармонично.

До меня только сейчас дошло, что это не просто фраза.

Среднее гармоническое:

$\dfrac{2}{\dfrac{1}{24000}+\dfrac{1}{36000}}= 28800$

[Батороев]

А если была еще и "запаска"?

[Батороев]

Есть задача, с точки зрения первоначального понимания немного более затуманенная, чем данная. В условии указывается, что колес - 5 шт. (с запаской). Мне понравилось, что величины запаса хода задачи ТС, как нельзя лучше, подходят для решения второй.

[Батороев]

faruk в сообщении #492755 писал(а):

nnosipov в сообщении #491058 писал(а):

$\dfrac{2}{\dfrac{1}{24000}+\dfrac{1}{36000}}= 28800$

Здесь знаменатель "описывает" работу пары шин - передней и задней. Если удвоить это выражение, то получим "описание" двух пар (или работы колес автомобиля в целом). Поэтому для расчета шин с запаской в числитель достаточно вставить ресурс всех имеющихся шин:

$\dfrac{5}{\dfrac{2}{24000}+\dfrac{2}{36000}}= 36000$

Т.е. в принципе, можно было ездить, меняя только задние колеса:

$\dfrac{3}{\dfrac{1}{24000}+\dfrac{1}{24000}}= 36000$