Подобие нулевой матрицы (линейная алгебра)

[GrishinUS]

Здравствуйте,

матрицы $A$ и $B$ называются подобными если существует такая обратимая матрица $P$ что $A=P^{-1}BP$.
Так вот, для матриц 2х2 я рассмотрел пару конкретных матриц, положил элементы матрицы $P$ за неизвестные и получил тривиальное решение (trivial solution, все неизвестные равны 0), т.е. такая матрица необратима. Но это только один частный случай для матриц размером 2х2, а мне нужен общий.

Вот тут http://www.math.psu.edu/schwede/MichiganClasses/math186/Worksheet4Sols.pdf нашел

"Thus $p(A)$ is similar to the zero matrix. But it is clear that the only matrix similar to the zero ma-
trix is the zero matrix (the zero linear transformation is represented by the zero matrix no matter
what basis you use)."

Причем тут трансформации? Я не понимаю о чем речь, объясните пожалуйста.

Спасибо.

[ИСН]

Ни при чём. Матрицы многообразны и вездесущи. Некоторые люди строят из матриц дома, другие применяют их для лечения поноса, а эти - для каких-то там трансформаций. Если это не Ваш случай, то и never mind.

-- Вс, 2011-10-09, 23:05 --

И вообще. Какой такой общий случай Вам нужен? В общем случае матрицы подобны, когда у них ЖНФ одинаковая. А эта фраза вся совсем о чём-то о другом.

[nnosipov]

Как по-русски будет трансформация?

[GrishinUS]

Цитата:

И вообще. Какой такой общий случай Вам нужен? В общем случае матрицы подобны, когда у них ЖНФ одинаковая. А эта фраза вся совсем о чём-то о другом.

Мне нужно объяснить что нулевой матрице может быть подобна только нулевая матрица. Видимо есть какое-то свойство, о котором я не знаю. Для матриц 2х2 я увидел что это так, но я же не могу частный случай привести в качестве доказательства.

Цитата:

Как по-русски будет трансформация?

Матрица перехода.

[ИСН]

Ну, всё верно: у нулевой матрицы и ЖНФ нулевая.

[Joker_vD]

GrishinUS в сообщении #491086 писал(а):

Мне нужно объяснить что нулевой матрице может быть подобна только нулевая матрица. Видимо есть какое-то свойство, о котором я не знаю.

Вы шутите? Если $B$ — нулевая, то чему равно $BP$? А $P^{-1}BP$?

[GrishinUS]

Цитата:

Вы шутите?

Нет.
Здесь $A$ нулевая. Получается $P^{-1}BP=0 \text{ должно } \Rightarrow B=0$

[ewert]

А Вы просто обратите преобразование подобия.

[GrishinUS]

Все понял, спасибо!

[Joker_vD]

GrishinUS
Если матрица $A$ подобна матрице $B$, то и матрица $B$ подобна матрице $A$, а дальше — $P^{-1}0P=0$.

[GrishinUS]

Ясно, а я искал какие-то специальные свойства и теоремы.

[ewert]

Кстати уж:

GrishinUS в сообщении #491086 писал(а):

Цитата:

Как по-русски будет трансформация?

Матрица перехода.

Вовсе нет, это называется "преобразование":

"the zero linear transformation is represented by the zero matrix no matter
what basis you use" = "нулевое линейное преобразование представляется нулевой матрицей независимо от того, какой базис используется"

("преобразование" здесь -- это синоним слова "отображение", или слова "оператор")

[GrishinUS]

Цитата:

Вовсе нет, это называется "преобразование":

Значит в Wikipedia ошибка, я зашел по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_transformations и посмотрел слева куда ведет ссылка в русском варианте.

[ewert]

GrishinUS в сообщении #491125 писал(а):

и посмотрел слева куда ведет ссылка в русском варианте.

Ну Вы же читайте хоть что там написано: "Transformation matrix", а не просто "Transformation". Т.е. "матрица преобразования", а вовсе не само преобразование. Матрица же что преобразования, что перехода -- это, естественно, одно и то же.

[GrishinUS]

Упс, pardon.