из школьного учебника (бином Ньютона и натуральность числа)

[gefest_md]

Показать, что для любого $n\in\mathbb{N}$, $(5-\sqrt{7})^{n}+(5+\sqrt{7})^{n}$ - натуральное число.
И без указания понятно, что можно посмотреть на нечётные степени разложения и решить. Но есть такое указание: применить математическую индукцию и бином Ньютона. И вот я не вижу как здесь использовать индукцию.

[AKM]

Наверное, так: $(a+b)^{17}=(a+b)^{16}\cdot(a+b)$. "А поскольку для $n-1$ что-то там выполняется, то..."

[ewert]

Никак -- в том смысле, что надо или индукцию, или бином Ньютона. Только индукцию -- очень просто:

$$(5-\sqrt7)(5-\sqrt7)^n+(5+\sqrt7)(5+\sqrt7)^n=5\left((5-\sqrt7)^n+(5+\sqrt7)^n\right)-\sqrt7\left((5-\sqrt7)^n-(5+\sqrt7)^n\right);$$

$$(5-\sqrt7)(5-\sqrt7)^n-(5+\sqrt7)(5+\sqrt7)^n=5\left((5-\sqrt7)^n-(5+\sqrt7)^n\right)-\sqrt7\left((5-\sqrt7)^n+(5+\sqrt7)^n\right).$$

По индукции это доказывает, что сумма степеней -- всегда целая, а их разность -- всегда целое, умноженное на $\sqrt7.$$