2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 из школьного учебника (бином Ньютона и натуральность числа)
Сообщение09.10.2011, 17:31 
Аватара пользователя
Показать, что для любого $n\in\mathbb{N}$, $(5-\sqrt{7})^{n}+(5+\sqrt{7})^{n}$ - натуральное число.
И без указания понятно, что можно посмотреть на нечётные степени разложения и решить. Но есть такое указание: применить математическую индукцию и бином Ньютона. И вот я не вижу как здесь использовать индукцию.

 
 
 
 Re: из школьного учебника
Сообщение09.10.2011, 17:49 
Аватара пользователя
Наверное, так: $(a+b)^{17}=(a+b)^{16}\cdot(a+b)$. "А поскольку для $n-1$ что-то там выполняется, то..."

 
 
 
 Re: из школьного учебника
Сообщение09.10.2011, 17:52 
Никак -- в том смысле, что надо или индукцию, или бином Ньютона. Только индукцию -- очень просто: $$(5-\sqrt7)(5-\sqrt7)^n+(5+\sqrt7)(5+\sqrt7)^n=5\left((5-\sqrt7)^n+(5+\sqrt7)^n\right)-\sqrt7\left((5-\sqrt7)^n-(5+\sqrt7)^n\right);$$ $$(5-\sqrt7)(5-\sqrt7)^n-(5+\sqrt7)(5+\sqrt7)^n=5\left((5-\sqrt7)^n-(5+\sqrt7)^n\right)-\sqrt7\left((5-\sqrt7)^n+(5+\sqrt7)^n\right).$$ По индукции это доказывает, что сумма степеней -- всегда целая, а их разность -- всегда целое, умноженное на $\sqrt7.$$

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group