Саморазвитие и самообучение.

[Aib]

Чтобы особо не вдаваться в подробности целей «для чего» сразу приведу позицию относительно данного вопроса:

Не так важно, что ты сможешь сделать со знанием, важнее, что знание может сделать с тобой.

Окончив ВУЗ по нематематической специальности обнаруживаю крайний недостаток в понимании всеми любимой дисциплины. Достаточно поздно понял важность изучения данной науки, с которой в школьные годы не дружил, а в студенческие годы привлекался тем больше, чем дольше нам её преподавали, но углубиться не успел, т.к. 2,5 лет оказалось недостаточно для привития себе вкуса к математике, вдобавок объёма и степени погружения явно не хватило для этого. Плюс к этому, нам не читали физику (семестр концепции современного естествознания не в счет), которая также является для меня очень интересной областью науки.

Разумеется, «понять всё» это крайне неопределённая задача и что под ней подразумевается разобраться непросто подчас даже искушенному. Я был бы рад понимать современные и классические теории, владеть языком математики «изнутри», брать в руки книгу и пробежав взглядом по насыщенному формулами и буквенными категориями тексту уметь оперировать предложенными идеями схватывая на лету так, словно бы это была моя родная среда. Впрочем, для достижения хоть какого-то, схожего с приведённым уровнем мне уже сейчас необходимо бежать во весь опор.

А начать бы я хотел с самого начала, хочется выстроить внутри себя понимание «что это и откуда». Для начала я приведу самые простые вещи, которые хотел бы разобрать, прошу помочь с рекомендацией литературы и материалов:

1)Доказательства.
Имеется ввиду скорее методика и источник доказательств, нежели конкретная область. Меня интересует скорее внутренний процесс: каким образом и откуда возникает идея применять тот или иной способ для опровержения или доказательства какого-либо утверждения, почему выбран именно этот, а не другой способ, что происходит между предложением гипотезы и предложением идти по данному пути доказательства (хотя, возможно, ответ на этот вопрос возможен только через самостоятельную практику?). Мне на ум приходят только «Что такое математика?» Куранта и Роббинса (которые, подходят и для общего ознакомления с другими разделами математики) и «Основы анализа» Ландау. Есть еще книги для начального уровня, где бы освящались подобные проблемы?
2)Геометрия.
Красивая наука, мимо которой я когда-то проходил. В ВУЗе преподавались только основы аналитической геометрии, в старших классах школы вся геометрия сводилась к 2-3 типовым задачам для подготовки к ЕГЭ. Мне нравится, как она постепенно раскрывается, базируясь на аксиомах к переходит к чему-то более сложному. Пока что, имеется ввиду только евклидова геометрия, и пожалуй, мне стоит начать её с азов. Ничего кроме учебника Погорелова не вспоминается.
3)Высшая математика.
Хотелось бы также повторить курс высшей математики. Онлайн лекции СЗТУ подходят для данной задачи, поэтому прошу порекомендовать сборник задач, соответствующий программе теории. Линейная алгебра, векторная алгебра и т.д.

Некоторые области, которые я хотел бы вспомнить, устранить пробелы в них, возможно, даже изучить заново:

1)Тригонометрия.
2)Графики функций.
3)Производная, первообразная, интеграл.

Не знаю насколько здесь уместны школьные учебники, в своё время учился по «Алгебра и начала анализа, 10-11 классы» Алимова. Однако, основной недостаток, по моему мнению, недостаточная обоснованность материала. Вопросы «что и как» раскрыты для школьного уровня хорошо, но самых интересных «почему, откуда, зачем» нет. Отсюда, прошу порекомендовать еще какую-либо литературу.

Области, которые мне интересны и на изучение которых я нацелен в перспективе. Пусть это будет, как минимум, уровень понимания идей и умение сопоставлять их с реальностью.

1)Теория игр.
Мне известна книга «Теория игр для экономистов» Печерского, Беляевой. Что еще стоит взять на заметку?
2)Математический анализ.
Кроме трехтомника Кудрявцева и задачников Демидовича мне литературы неизвестно. Есть ли еще что-то простое, для соответствующего моему, уровня?
3)Топология.
Темный лес. Красивая область математики, приблизиться к которой у меня возможности не было, соответственно, откуда начинать идти к ней тоже непонятно. Хотя, этот пункт для меня также только перспектива. Порекомендуйте, что можно изучить, чтобы иметь хотя бы общее представление об идеях.

Разумеется, это не все. Но на данный момент мне и этого более чем хватит. Вдобавок, чтобы посмотреть за горизонт, нужно забраться повыше, а изучение вышеприведенных областей, как раз послужит для этой цели. А если порекомендуете литературу, отвечающую на вопрос «каким образом и как» в математике появлялись те или иные идеи, буду очень рад, потому как плохо ориентируюсь в истории данной науки.

Конечно, я понимаю, что одним из фундаментальных факторов успешного обучения (помимо интереса, конечно) является общение с теми, кто занимается тем же и преподавателями. Однако, поступление в ВУЗ на интересующие специальности по заочной форме обучения невозможен в силу их отсутствия, а поступать на дневное отделение мероприятие сомнительное, хотя бы потому что, нет особого желания опять первые 2 года учить культорологию, историю и т. д. О «клубах взрослых начинающих математиков», если такие и существуют (пусть даже онлайн) я не слышал. Хорошо бы иметь тьютора, но практику тьюторства людей не обучающихся в непосредственно в институтах, я не встречал, потому вопрос пока не рассматривается.

Конечно, логичнее было бы взять уже готовую программу подготовки и опираться на неё, но пока попробую подойти к этому по-своему. Впрочем, если у кого-то есть подобный опыт самообучения или программа, было бы интересно узнать, обменяться опытом.

Прошу прощения за большое количество букв.

[мат-ламер]

1. Доказательства. Посмотрите Д.Пойа (или Пойя?) - Математическое открытие.
2. Геометрия. С детства школьную евклидову геометрию недолюбливал. А чем Погорелов не нравится? Можно попробовать поискать учебники геометрии для педагогических ВУЗов. У меня на компе есть книга по геометрии Прасолова и Тихомирова, но боюсь, что это не то, что Вы ищите.
3. Высшая математика. Вы просите сборник задач, соответствующий пограмме онлайн лекций. К сожалению не знаком с программой. По линейной алгебре можно посмотреть сборник задач Проскурякова.
4. Школьная математика. С Алимовым не знаком, но есть учебники Виленкина и Никольского. Просто ради интереса, поясните, какие вопросы "почему, откуда, зачем" у Вас возникают? (Почему ввели синус или логарифм?).
5. По матанализу и топологии может по ссылке что-либо найдёте http://dxdy.ru/topic25593.html. А чем Кудрявцев не нравится? Если слишком сложно, то посмотрите Зельдович, Яглом - "Высшая математика для начинающих физиков и техников". Если по топологии найденные книги покажутся сложными, то посмотрите - Стинрод, Чинн - "Первые понятия топологии".
6. По теории игр я что-то на форуме вопросов не встречал. Может это направление в России заглохло?

[epros]

Aib в сообщении #482282 писал(а):

1)Доказательства.
Имеется ввиду скорее методика и источник доказательств, нежели конкретная область. Меня интересует скорее внутренний процесс: каким образом и откуда возникает идея применять тот или иной способ для опровержения или доказательства какого-либо утверждения, почему выбран именно этот, а не другой способ

Не знаю как относительно других пунктов, но по этому вопросу, по-моему, Вы адекватной литературы не найдёте. Есть целая математическая дисциплина - теория доказательств (proof theory), однако она занимается в основном описанием и анализом способов доказательств "вообще". Идею выбора "того или иного способа", по-моему, взять просто неоткуда, поскольку любые способы равно допустимы.

[Klad33]

Самый лучший способ саморазвития - участвовать в форумах, где студенты просят помочь решать задачи. В них все динамично, интересно и увлекательно. А задачки сыпятся, как из рога изобилия. Ну и конечно, чтобы успешно помогать, приходится лезть в литературу.

[Kitozavr]

мат-ламер в сообщении #482527 писал(а):

По теории игр я что-то на форуме вопросов не встречал. Может это направление в России заглохло?

Так казино же запретили.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Klad33 в сообщении #482604 писал(а):

А задачки сыпятся, как из рога изобилия.

Ага, и большей частью одинаковые.

[Aib]

мат-ламер в сообщении #482527 писал(а):

1. Доказательства. Посмотрите Д.Пойа (или Пойя?) - Математическое открытие.

Спасибо, книги Пойа как раз соответствуют условиям.

Цитата:

А чем Погорелов не нравится?

Посмотрел учебник Погорелова для 7-11 классов, 1995 года (не думаю, что в моём случае год издания принципиален), видимо, имел не совсем верное о нём представление. Учебник вполне хороший.

Цитата:

По линейной алгебре можно посмотреть сборник задач Проскурякова.

Благодарю, подходит в некоторой степени.

Цитата:

Просто ради интереса, поясните, какие вопросы "почему, откуда, зачем" у Вас возникают? (Почему ввели синус или логарифм?).

Скорее всего, интерес представляет сам процесс изобретения того или иного математического аппарата. Как мыслит тот, кто предлагает гипотезу или доказывает теорему, что происходит между попыткой доказательства и доказательством, как таковым. Откуда в уме исследователя возникает математическая идея? Вопрос скорее философский или из области нейробиологии, потому как затрагивает ту область человеческого сознания, которую трудно формализовать. Возможно, это результат фантазии, основанной на сильной теоритической подготовке и огромном практическом опыте. Но если можете порекомендовать книги по истории развития математики, отвечающие на вопросы из разряда "почему, зачем и как ввели синус, производную и т.д." - было бы очень интересно.

Цитата:

А чем Кудрявцев не нравится? Если слишком сложно, то посмотрите Зельдович, Яглом - "Высшая математика для начинающих физиков и техников". Если по топологии найденные книги покажутся сложными, то посмотрите - Стинрод, Чинн - "Первые понятия топологии".

Кудрявцев, в общем-то, нравится, но если есть возможность начать с более простого - начну. Спасибо, думаю, подберу под себя что-то из предложенного.

Цитата:

Может это направление в России заглохло?

Может быть. Материалы по теории игр мне встречались мельком в курсах мат. статистики, а отдельные книги, кроме мной упомянутой, пока ни разу.

epros в сообщении #482601 писал(а):

Есть целая математическая дисциплина - теория доказательств (proof theory), однако она занимается в основном описанием и анализом способов доказательств "вообще".

Да, теория доказательтв - не совсем то, что имелось ввиду. Но что-то по крупицам постараюсь найти из разных книг.

Klad33 в сообщении #482604 писал(а):

Самый лучший способ саморазвития - участвовать в форумах, где студенты просят помочь решать задачи.

Способ отличный, но до способности быть к нему способным, нужно еще добраться. Чем я и занимаюсь.

[epros]

Aib в сообщении #482786 писал(а):

Скорее всего, интерес представляет сам процесс изобретения того или иного математического аппарата. Как мыслит тот, кто предлагает гипотезу или доказывает теорему, что происходит между попыткой доказательства и доказательством, как таковым. Откуда в уме исследователя возникает математическая идея? Вопрос скорее философский или из области нейробиологии, потому как затрагивает ту область человеческого сознания, которую трудно формализовать.

А-аа... Тогда больше философские/методологические книжки и нужно читать. Порекомендую Т.Куна "Структура научных революций", И.Лакатоса " Фальсификация и методология научно-исследовательских программ" и "Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы", Б.Рассела "Проблемы философии" и "Человеческое познание: его сфера и границы". В плане изучения критики рационального познания как такового интересен П.Фейерабенд "Избранные труды по методологии науки" и "Против метода. Очерк анархистской теории познания".

[Vince Diesel]

У Пойа есть еще две замечательные книги: "Математика и правдоподобные рассуждения" и "Как решать задачу", особенно первая. Там есть много разобранных примеров задач, в которых рассмотрен процесс рассуждений, наблюдений и догадок, ведущих в коне концов к доказательству. Если ее прочесть и прорешать задачи в конце каждого раздела, то имхо, это будет действительно полезно для понимания, как получаются доказательства А материал задач там несложный, целые числа, ряды, интегралы и т.п.

[VAL]

Про Пойа уже написали. Подтверждаю, что это именно то что надо. (Правда, "Как решать задачу" мне меньше нравится. Зато остальные две упомянутые книжки - просто блеск!)

А еще рекомендую книжку: Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен "Наглядная геометрия".

[мат-ламер]

Aib в сообщении #482786 писал(а):

Но если можете порекомендовать книги по истории развития математики, отвечающие на вопросы из разряда "почему, зачем и как ввели синус, производную и т.д." - было бы очень интересно.

По истории математики читал книгу Д.Стройка "Краткий очерк истории математики". Но есть книги и более подробные. См. статью в Википедии "История математики" и в конце её - "Литература".

[BTH]

Aib в сообщении #482786 писал(а):

Посмотрел учебник Погорелова для 7-11 классов, 1995 года (не думаю, что в моём случае год издания принципиален), видимо, имел не совсем верное о нём представление. Учебник вполне хороший.

А мне как-то не очень нравится. Задачек мало по-моему. В школьном учебнике Л. С. Атанасяна мне и изложение больше нравится, ну и задач там гораздо больше (и диапазон сложности задач у Атанасяна больше; плюс в сети легко найти действительно хорошие решебники этих задач, если уж никак не даётся задача или хочется свериться).
Если Атанасяна осилите (с полным прорешиванием задач повышенной сложности), то рекомендую две отличные книги Я. Понарина "Элементарная геометрия". Они продолжают школьный курс, в них много задач, к тому же очень хорошо рассмотрены преобразования плоскости и пространства, что важно, но в школе эти вопросы почти не рассматриваются.
Ещё одна хорошая книга — Р. Шарипов "Основания геометрии".

По школьному курсу алгебры, элементарных функций и начал анализа рекомендую учебники для классов с повышенной математической подготовкой Н. Г. Мордковича (всего 5 книг: от 7-го до 11-го класса). К этому комплекту учебников есть и комплект задачников (соответственно 5 книг). Они хорошие (в смысле подборки задач), но количество опечаток просто феноменальное. Конкретно по классам: 7 — опечаток не очень много, можно работать; 10 и 11 — на сайте Мордковича можно скачать список опечаток; 8 и 9 — работать с задачниками крайне утомительно, ибо опечатки на каждой странице, но Мордкович писал, что редакция идёт полным ходом.

[beroal]

Aib в сообщении #482282 писал(а):

1)Доказательства.
Имеется ввиду скорее методика и источник доказательств, нежели конкретная область. Меня интересует скорее внутренний процесс: каким образом и откуда возникает идея применять тот или иной способ для опровержения или доказательства какого-либо утверждения, почему выбран именно этот, а не другой способ, что происходит между предложением гипотезы и предложением идти по данному пути доказательства

Кажется, на Западе есть специальный курс «proof writing». Я не знаю, как это переводится на русский, скорее всего «начала математической логики», «основы математической логики» или что-то подобное. Это как бы первая глава учебника по математической логике с усиленной практической стороной — больше примеров доказательств, приёмы доказательств, описывает связь между естественным (русским, английским) языком и языком логики.

Но, конечно, никто вам не напишет алгоритм, как открыть теорему или доказательство. Я бы искал это не в книгах, а в статьях, блогах (пример), просто личных беседах.

Aib в сообщении #482282 писал(а):

А если порекомендуете литературу, отвечающую на вопрос «каким образом и как» в математике появлялись те или иные идеи, буду очень рад, потому как плохо ориентируюсь в истории данной науки.

По истории математики книги есть. Проблемка в том, что перед тем, как читать историю математики, нужно выучить саму математику.

Aib в сообщении #482282 писал(а):

возможно, ответ на этот вопрос возможен только через самостоятельную практику?

Изучение математики без самостоятельной работы приносит даже меньше пользы, чем просмотр телешоу «Битва экстрасенсов». Это будет просто развлекательная литература, снотворное.

Литература

История
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1960
Stillwell J. Математика и ее история(2004)
Рыбников. история математики.
Цейтен. история математики в древности и в средние века.
Юшкевич. история математики.
Baron. The Origin Of Infinitesimal Calculus (Dover 1969).
Mathematics And Its History (Undergraduate Texts In Mathematics) (John Stillwell)
Orlando Merino. A Short History of Complex Numbers.
Smith. history of modern mathematics.

Proof writing
A Transition to Advanced Mathematics By Smith , Eggen , St. Andre
Hammack. Book Of Proof
How to Read and Do Proofs - Daniel Solow (Wiley, 1982)

Обо всём и ни о чём
Клейн. элементарная математика с точки зрения высшей.
Курант, Роббинс. что такое математика.
Урожаи и посевы. Гротендик А. (2001).
Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа.
Я.И.Перельман. живая математика.
Дынкин Е.Б., Успенский В.А. - Математические беседы (1952)
Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ (1987)
Gowers. the two cultures of mathematics.
Mathematics - Real-Life Math - Everyday Use of Mathematical Concepts - (Evan M. Glazer, John W. McConnell) Greenwood Press 2002
McLarty. the rising sea Grothendieck on simplicity and generality I,2003
John Stillwell. Yearning for the impossible. AK_Peters,_Ltd.(2006)
Rotman. Journey Into Mathematics with answers. 0486453065
O'Donnel. the sources of certainty in computation and formal systems.

[student2curs]

У меня тоже такие вопросы возникают, когда за изучения материала берусь, памяти нехватает запомнить написаное поэтому я стараюсь отвлечься от материала , так сказать углубится в суть процесса при помощи кого то.

[Aib]

epros в сообщении #482852 писал(а):

Тогда больше философские/методологические книжки и нужно читать.

Спасибо, в эту сторону я смотрел мало, будет над чем подумать.

VAL в сообщении #482878 писал(а):

Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен "Наглядная геометрия"

Более продвинутый уровень, стоит взять на заметку, спасибо.

BTH в сообщении #487155 писал(а):

В школьном учебнике Л. С. Атанасяна мне и изложение больше нравится, ну и задач там гораздо больше

BTH в сообщении #487155 писал(а):

рекомендую две отличные книги Я. Понарина "Элементарная геометрия"

BTH в сообщении #487155 писал(а):

Ещё одна хорошая книга — Р. Шарипов "Основания геометрии"

Спасибо за подсказку, просмотрел учебники Атанасяна, теперь есть с чем сравнивать. Две другие приму к сведению, как материал для дальнейшего изучения, а вот Мордковича смотреть не буду, сейчас опечатки мне будут очень некстати.

beroal в сообщении #488268 писал(а):

Кажется, на Западе есть специальный курс «proof writing».

Кстати, интересная книга Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics автор Randall B. Maddox.

beroal в сообщении #488268 писал(а):

Литература

Да уж, есть над чем работать, встретил всего три знакомых названия. Большое спасибо.

student2curs в сообщении #490582 писал(а):

У меня тоже такие вопросы возникают, когда за изучения материала берусь, памяти нехватает запомнить написаное поэтому я стараюсь отвлечься от материала , так сказать углубится в суть процесса при помощи кого то.

Пожалуй, не мой случай, но подход интересный.

Еще, если кому-то интересно, могу рекомендовать по тригонометрии:
И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом, Тригонометрия;
по доказательствам: В. А. Успенский, Простейшие примеры математических доказательств;
по теории игр: Берж К., Общая теория игр нескольких лиц.