преобразование ряда из прямоугольной в полярную с.к.

[sadomovalex]

добрый день
мой вопрос из области акустики, но интересует именно математическая сторона. Есть ряд:
p_i(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_ne^{i\gamma_ny}\sin nx,
где A_n - заданные числа, \gamma_n=\sqrt{k^2-n^2}, k - заданное волновое число. Преобразование между прямоугольной и полярной с.к. задается формулами (в отличие от обычных - здесь абсцисса зависит от синуса, а ордината - от косинуса):
\left\{\begin{array}{l}x=X_0+r\sin\varphi \\ y=Y_0+r\cos\varphi\end{array}\right.,
где X_0 и Y_0 - заданные числа.
В статье говорится, что в полярной с.к. этот ряд будет иметь вид:
p_i(r,\varphi)=\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}a_mJ_m(kr)e^{im\varphi},
где J_m - функции Бесселя, a_m=i^m\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_ne^{i\gamma_nY_0}\sin(nX_0+m\alpha_n), фаза \alpha_n=\arccos\frac{n}{k}-\frac{\pi}{2}.
Вопрос в математическом получении такого разложения для полярной с.к. По всем признакам оно получено с помощью применения теоремы сложения (см. Иванов Е.А. «Дифракция электромагнитных волн на двух телах»), но может я и ошибаюсь. Буду рад любой помощи.

PS.Геометрия и физика задачи такова:

На тело в прямоугольном воноводе падает волна p_i, образованная заданным распределением источников, находящихся на расстоянии X_0 от тела (цилиндр, образующая которого параллельна стенкам волновода и перпендикулярна оси картинки). Разложение, данное выше в прямоугольной с.к., p_i(x,y) является разложением падающей волны по собственным функциям волновода. Разложение p_i(r,\varphi) является разложением в полярной с.к., связанной с телом

[Аурелиано Буэндиа]

Судя по всему нужно преобразовать

$$ e^{i\gamma_ny}\sin nx = \frac{1}{2i}e^{i(nx+\gamma_n y) } - \frac{1}{2i}e^{i(- nx+\gamma_n y ) } $$

ну а дальше открываем справочник (если не помните формулу на память) и раскладываем экспоненту $exp[i(k_xx+k_yy)]$ в ряд по функциям $exp(im\phi)$. Нужно принять $k_x = \pm n$ и $k_y = \gamma_n$.

[V.V.]

$e^{iz\sin\varphi}=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty J_n(z)e^{in\varphi}$.

[sadomovalex]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Судя по всему нужно преобразовать

$$ e^{i\gamma_ny}\sin nx = \frac{1}{2i}e^{i(nx+\gamma_n y) } - \frac{1}{2i}e^{i(- nx+\gamma_n y ) } $$

ну а дальше открываем справочник (если не помните формулу на память) и раскладываем экспоненту $exp[i(k_xx+k_yy)]$ в ряд по функциям $exp(im\phi)$. Нужно принять $k_x = \pm n$ и $k_y = \gamma_n$.

да, это именно то, что нужно. Огромное, огромное спасибо!

[sadomovalex]

V.V. писал(а):

$e^{iz\sin\varphi}=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty J_n(z)e^{in\varphi}$.

да, только здесь нужно более общее разложение:
e^{ik\mathbf{n}\mathbf{R}}=e^{ikz\cos\theta_0}\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}i^mJ_m(kr\sin\theta_0)e^{im(\varphi-\varphi_0)}
спасибо