2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 SL2(R) и первые интегралы
Сообщение08.10.2011, 15:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая движение точки единичной массы по плоскости под действием сил, однородных степени $-3$ по координатам. Всё гладкое.
Силы не обязательно потенциальны. Нужно квадратурами найти первый интеграл движения.
$\dot {q}_i=p_i$, $\dot {p}_i={F_i}(q_1,q_2)$, ${q_1}\frac{\partial{F_i}}{\partial{q_1}}+{q_2}\frac{\partial{F_i}}{\partial{q_2}}=-3F_i$, $i=1,2$
Появление алгебры Ли ${sl_2}(R)$ связано со степенью однородности $-3$ силового поля. Искомый первый интеграл квадратичен по импульсам.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение08.10.2011, 16:50 


25/08/05
645
Україна
В неоднородной системе, как я понял, всего 4 уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение08.10.2011, 17:29 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Уравнений, естественно, четыре по числу координат в фазовом пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение08.10.2011, 17:57 


25/08/05
645
Україна
Пока непонятно как вы вводите здесь действие $sl_2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение08.10.2011, 18:48 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Я пока ничего не ввожу. Пока задан вопрос и к нему подсказка, состоящая в том, что к нахождению первого интеграла имеет отношение ${sl_2}(R)$. Может быть, Вы как-то по иному будете решать эту задачу. Я мог бы сразу обо всем рассказать, но хотелось бы увидеть разные подходы.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение08.10.2011, 20:02 


25/08/05
645
Україна
Я бы решал так - нужно ввести структуру представления алгебры Ли $sl_2$ на векторном пространстве порожденном елементами $p_i, q_i,F_i$ а потом продолжить его на пространство многочленов от етих переменных. Тогда инварианты етого продолжения и будут первыми интегралами. Где-то так, если ничего не напутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 11:10 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Leox, такой путь решения интересно бы было пройти до конца и получить первый интеграл.
А вот то, что я имел ввиду. В фазовом пространстве $q_i,p_i$ определяются три векторных поля.
$X_1=\sum_{i=1}^2({p_i}\frac {\partial}{{\partial}q_i}+{F_i}\frac {\partial}{{\partial}p_i})$,
$X_2=\sum_{i=1}^2({q_i}\frac {\partial}{{\partial}q_i}-{p_i}\frac {\partial}{{\partial}p_i})$,
$X_3=\sum_{i=1}^2({q_i}\frac {\partial}{{\partial}p_i})$.
Первое поле соответствует исходной системе уравнений.
Коммутаторы полей $[X_1,X_2]=2X_1,[X_1,X_3]=-X_2,[X_2,X_3]=2X_3$.
Отмечу, что $[X_1,X_2]=2X_1$ выполняется благодаря однородности $F_i$ степени $-3$.
Таким образом, вещественные линейные комбинации $X_1,X_2,X_3$ порождают ${sl_2}(R)$ и в области их линейной независимости трехмерное инволютивное распределение.
Теперь нужно найти первый интеграл общий для всех трех полей.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 14:47 


25/08/05
645
Україна
Ну ето то же что я и писал. Интересная реализация $sl_2$-модуля которая параметризируется двумя однородными функциями. Меня смущает лишь то что $X_1$ должен быть нильпотентным оператором, а ето налагает дополнительные ограничения на $F_i.$ Проверяю.
А что такое "инволютивное распределение"?

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 15:53 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Инволютивное распределение - это терминология К.Шевалле Теория групп Ли - то же, что и интегрируемое распределение. Поверхность уровня искомого первого интеграла будет интегральным многообразием дифференциальной системы, натянутой на $X_1,X_2,X_3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 15:58 


25/08/05
645
Україна
Ну например, при дополнительном условии $$q_{{2}}{F_1} \left( q_{{1}},q_{{2}} \right) -{ F_2} \left( q_{{1}
},q_{{2}} \right) q_{{1}}=0,
$$ первый интеграл такой -- $q_{{2}}p_{{1}}-p_{{2}}q_{{1}}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 16:21 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
То, что вы привели - вырожденный частный случай, хотя и верный. Общий вид первого интеграла более сложный. Я уже писал, что он квадратичен по импульсам.
Замечу, что на множестве ${q_2}F_1-{q_1}F_2=0$, ${q_2}{p_1}-{q_1}{p_2}=0$ поля $X_1,X_2,X_3$ - линейно зависимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 17:09 


25/08/05
645
Україна
Общий вид такой: при
$$
{\it F_2} \left( q_{{1}},q_{{2}} \right) ={\frac {q_{{2}} \left( {q_{{1
}}}^{3}C_{{2}} \left( 1+C_{{1}} \right) {\it F_1} \left( q_{{1}},q_{{2}
} \right) -2\,C_{{3}} \right) }{{q_{{1}}}^{4}C_{{2}} \left( 1+C_{{1}}
 \right) }}
$$
первый интеграл
$$
 \left( {\frac {q_{{2}}}{q_{{1}}}} \right) ^{2\, \left( 1+C_{{1
}} \right) ^{-1}} \left( {\frac {C_{{2}}{p_{{2}}}^{2} \left( 1+C_{{1}}
 \right) {q_{{1}}}^{4}-2\,C_{{2}}q_{{2}}p_{{1}}p_{{2}} \left( 1+C_{{1}
} \right) {q_{{1}}}^{3}+C_{{2}}{q_{{2}}}^{2}{p_{{1}}}^{2} \left( 1+C_{
{1}} \right) {q_{{1}}}^{2}+2\,C_{{3}}{q_{{2}}}^{2}}{{q_{{2}}}^{2}}}
 \right) ^{ \left( 1+C_{{1}} \right) ^{-1}}{2}^{- \left( 1+C_{{1}}
 \right) ^{-1}}.
$$

Здесь $C_i$ $--$ произвольные параметры.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 17:35 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Leox, в задаче $F_1$ и $F_2$ произвольные гладкие функции однородные степени $-3$.
Они никак между собой не связаны, никакого "при" здесь быть не может.
Вполне допускаю, что при указанной Вами связи между $F_1$ и $F_2$ первый интеграл действительно тот, который Вы написали. Но это не есть общее решение.
Нас интересует функция $V(q_1,q_2,p_1,p_2)\ne\operatorname{const}$ такая, что $X_1(V)=0$.
Именно такая функция называется первым интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 18:46 


25/08/05
645
Україна
Ну я искал такую $V$ которая удовлетворяет всем трем уравнениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: SL2(R) и первые интегралы
Сообщение09.10.2011, 19:28 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Я уже писал, что Вы получали первый интеграл при дополнительных условиях для $F_1$ и $F_2$. К сожалению, это не то, что нужно.

-- Вс окт 09, 2011 20:58:22 --

Я ведь не излагал метод своего решения, сделаю это позже. Но первый интеграл будет общим для $X_1,X_2,X_3$.
Если Вы укажете функцию$V(q_1,q_2,p_1,p_2)$ для которой $X_1(V)=0$ без всяких условий на $F_1,F_2$, которые у Вас в ответе присутствуют, то задача решена. Пока этого нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nimepe


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group