SL2(R) и первые интегралы

[scwec]

Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая движение точки единичной массы по плоскости под действием сил, однородных степени $-3$ по координатам. Всё гладкое.
Силы не обязательно потенциальны. Нужно квадратурами найти первый интеграл движения.
$\dot {q}_i=p_i$, $\dot {p}_i={F_i}(q_1,q_2)$, ${q_1}\frac{\partial{F_i}}{\partial{q_1}}+{q_2}\frac{\partial{F_i}}{\partial{q_2}}=-3F_i$, $i=1,2$
Появление алгебры Ли ${sl_2}(R)$ связано со степенью однородности $-3$ силового поля. Искомый первый интеграл квадратичен по импульсам.

[Leox]

В неоднородной системе, как я понял, всего 4 уравнения?

[scwec]

Уравнений, естественно, четыре по числу координат в фазовом пространстве.

[Leox]

Пока непонятно как вы вводите здесь действие $sl_2.$

[scwec]

Я пока ничего не ввожу. Пока задан вопрос и к нему подсказка, состоящая в том, что к нахождению первого интеграла имеет отношение ${sl_2}(R)$. Может быть, Вы как-то по иному будете решать эту задачу. Я мог бы сразу обо всем рассказать, но хотелось бы увидеть разные подходы.

[Leox]

Я бы решал так - нужно ввести структуру представления алгебры Ли $sl_2$ на векторном пространстве порожденном елементами $p_i, q_i,F_i$ а потом продолжить его на пространство многочленов от етих переменных. Тогда инварианты етого продолжения и будут первыми интегралами. Где-то так, если ничего не напутал.

[scwec]

Leox, такой путь решения интересно бы было пройти до конца и получить первый интеграл.
А вот то, что я имел ввиду. В фазовом пространстве $q_i,p_i$ определяются три векторных поля.
$X_1=\sum_{i=1}^2({p_i}\frac {\partial}{{\partial}q_i}+{F_i}\frac {\partial}{{\partial}p_i})$,
$X_2=\sum_{i=1}^2({q_i}\frac {\partial}{{\partial}q_i}-{p_i}\frac {\partial}{{\partial}p_i})$,
$X_3=\sum_{i=1}^2({q_i}\frac {\partial}{{\partial}p_i})$.
Первое поле соответствует исходной системе уравнений.
Коммутаторы полей $[X_1,X_2]=2X_1,[X_1,X_3]=-X_2,[X_2,X_3]=2X_3$.
Отмечу, что $[X_1,X_2]=2X_1$ выполняется благодаря однородности $F_i$ степени $-3$.
Таким образом, вещественные линейные комбинации $X_1,X_2,X_3$ порождают ${sl_2}(R)$ и в области их линейной независимости трехмерное инволютивное распределение.
Теперь нужно найти первый интеграл общий для всех трех полей.

[Leox]

Ну ето то же что я и писал. Интересная реализация $sl_2$-модуля которая параметризируется двумя однородными функциями. Меня смущает лишь то что $X_1$ должен быть нильпотентным оператором, а ето налагает дополнительные ограничения на $F_i.$ Проверяю.
А что такое "инволютивное распределение"?

[scwec]

Инволютивное распределение - это терминология К.Шевалле Теория групп Ли - то же, что и интегрируемое распределение. Поверхность уровня искомого первого интеграла будет интегральным многообразием дифференциальной системы, натянутой на $X_1,X_2,X_3$.

[Leox]

Ну например, при дополнительном условии

$$q_{{2}}{F_1} \left( q_{{1}},q_{{2}} \right) -{ F_2} \left( q_{{1} },q_{{2}} \right) q_{{1}}=0, $$

первый интеграл такой -- $q_{{2}}p_{{1}}-p_{{2}}q_{{1}}.$

[scwec]

То, что вы привели - вырожденный частный случай, хотя и верный. Общий вид первого интеграла более сложный. Я уже писал, что он квадратичен по импульсам.
Замечу, что на множестве ${q_2}F_1-{q_1}F_2=0$, ${q_2}{p_1}-{q_1}{p_2}=0$ поля $X_1,X_2,X_3$ - линейно зависимы.

[Leox]

Общий вид такой: при

$$ {\it F_2} \left( q_{{1}},q_{{2}} \right) ={\frac {q_{{2}} \left( {q_{{1 }}}^{3}C_{{2}} \left( 1+C_{{1}} \right) {\it F_1} \left( q_{{1}},q_{{2} } \right) -2\,C_{{3}} \right) }{{q_{{1}}}^{4}C_{{2}} \left( 1+C_{{1}} \right) }} $$

первый интеграл

$$ \left( {\frac {q_{{2}}}{q_{{1}}}} \right) ^{2\, \left( 1+C_{{1 }} \right) ^{-1}} \left( {\frac {C_{{2}}{p_{{2}}}^{2} \left( 1+C_{{1}} \right) {q_{{1}}}^{4}-2\,C_{{2}}q_{{2}}p_{{1}}p_{{2}} \left( 1+C_{{1} } \right) {q_{{1}}}^{3}+C_{{2}}{q_{{2}}}^{2}{p_{{1}}}^{2} \left( 1+C_{ {1}} \right) {q_{{1}}}^{2}+2\,C_{{3}}{q_{{2}}}^{2}}{{q_{{2}}}^{2}}} \right) ^{ \left( 1+C_{{1}} \right) ^{-1}}{2}^{- \left( 1+C_{{1}} \right) ^{-1}}. $$

Здесь $C_i$ $--$ произвольные параметры.

[scwec]

Leox, в задаче $F_1$ и $F_2$ произвольные гладкие функции однородные степени $-3$.
Они никак между собой не связаны, никакого "при" здесь быть не может.
Вполне допускаю, что при указанной Вами связи между $F_1$ и $F_2$ первый интеграл действительно тот, который Вы написали. Но это не есть общее решение.
Нас интересует функция $V(q_1,q_2,p_1,p_2)\ne\operatorname{const}$ такая, что $X_1(V)=0$.
Именно такая функция называется первым интегралом.

[Leox]

Ну я искал такую $V$ которая удовлетворяет всем трем уравнениям.

[scwec]

Я уже писал, что Вы получали первый интеграл при дополнительных условиях для $F_1$ и $F_2$. К сожалению, это не то, что нужно.

-- Вс окт 09, 2011 20:58:22 --

Я ведь не излагал метод своего решения, сделаю это позже. Но первый интеграл будет общим для $X_1,X_2,X_3$.
Если Вы укажете функцию$V(q_1,q_2,p_1,p_2)$ для которой $X_1(V)=0$ без всяких условий на $F_1,F_2$, которые у Вас в ответе присутствуют, то задача решена. Пока этого нет.