Про человека и автомобиль...

[dnoskov]

Человек находится в поле на расстоянии $l$ от прямолинейного участка шоссе. Слева от себя он замечает движущийся по шоссе автомобиль. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автомобиля и как можно дальше от него? Скорость автомобиля $u$, скорость человека $v$.

Пусть:

• Ось $x$ сонаправлена с вектором скорости автомобиля, ось $y$ направлена вниз и начало координат находится в точке $O$, где находился автомобиль, когда человек его заметил,
• $x_0$ - начальная горизонтальная координата человека,
• $y_0 = -l$ - начальная вертикальная координата человека,
• $\alpha$ - угол между направлением вектора скорости человека $\vec v$ и его вертикальной составляющей $\vec v_y$,
• $t_1$ - время, за которое человек прибежал в необходимую точку на шоссе,
• $s(\alpha)$ - расстояние между человеком и автомобилем в момент времени $t_1$

Тогда:

• Движение человека описывается следующей системой:
  $\begin{cases} x_1(t)=x_0+vt \sin \alpha,\\ y_1(t)=-l+vt \cos \alpha\\ \end{cases}$
• Движение автомобиля - уравнением: $x_2(t)=ut$

Соответственно, в момент времени $t_1$:
$\begin{cases} x_1(t_1)=x_0+vt_1 \sin \alpha,\\ y_1(t_1)=-l+vt_1 \cos \alpha\\ \end{cases}$ $;\quad x_2(t_1)=ut_1$
По допущению: $y_1(t_1)=0$, значит $l=vt_1 \cos \alpha \Rightarrow t_1=\frac{l}{v \cos \alpha}$.
Поэтому:
$x_1(t_1)=x_0+l \tg \alpha, \quad x_2(t_1)=\frac{ul}{v\cos\alpha}$

По допущению: $s(\alpha)=|x_1-x_2|=|x_0+l\tg\alpha-\frac{ul}{v\cos\alpha}|$

Далее, наверное, нужно найти наибольшее значение этой функции, однако его у ней нету, а ещё каких-то ограничений я не усматриваю.

Вся эта галиматья появилась в результате следующего рассуждения:
Человек быстрее всего доберётся до шоссе, если будет бежать к нему под прямым углом (это очевидно), но я не усматриваю никаких гарантий того, что при этом, когда он доберётся, расстояние между ним и автомобилем будет наибольшим. Кроме того, наверное задача предполагает, что в решении будет какое-то рассуждение, которое приведёт к неким математическим выражениям, которые приведут к неким однозначным результатам в любом случае (т.е. если ответом является ноль, то этот ответ нужно получить (вобщем догадки - это для догадливых)).

Как видно, к однозначным результатам я не пришёл. Поэтому прошу помощи у сообщества.

Что и где я делаю не так?

[Xblow]

Очень напоминает задачу из сборника Савченко №1.1.10. В вашем случае человеку нужно бежать по той же траектории, что и в той задаче (а именно под углом $\alpha = arccos(\frac{u}{v})$ к дороге против направления машины)

[dnoskov]

Xblow
Да, это довольно популярная задача, но обычно она приводится с конкретными данными (с циферками вместо букв), так, например, в сборниках Буховцева и Кондратьева (от УМК Бутикова). Но вот в учебнике Бутикова эта задача приведена так как я уже написал.

Цитата:

В вашем случае человеку нужно бежать по той же траектории, что и в той задаче (а именно под углом $\alpha = \arccos(\frac{u}{v})$ к дороге против направления машины)

Понятно. А почему?

[Xblow]

Конкретно задачу из Савченко

Цитата:

1.1.10
-По прямому шоссе идет автобус с постоянной скоростью v. Вы заметили автобус, когда тот находился в некоторой точке A. Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если скорость вашего бега u < v?

можно решать следующими рассуждениями: можно рассмотреть треугольник ABC, где A - точка начального расположения машины, B - точка начального расположения пешехода, C - точка на прямой, к которой он будет двигаться. Возьмем за $\beta$ угол между AB и AC. Очевидно, что BC - прямая. $AC = ut; BC = vt;$. Если взять нормаль к отрезку AB, то видно, что AC проецируется в $x_{AC} = AC * sin \beta$. Рассматривая угол между BC и AB, приходим к выводу, что $x_{BC}\leq BC$, Но $x_{BC} = $x_{AC} => \angle ABC = \frac{\pi}{2}=> \beta = arcsin(\frac{v}{u}). В нашем случае это угол $\gamma = \angle BCA, \gamma = arccos(\frac{u}{v}) = \frac{\pi}{2}- \alpha)$

[dnoskov]

Цитата:

В вашем случае человеку нужно бежать по той же траектории, что и в той задаче (а именно под углом $\alpha = \arccos(\frac{u}{v})$ к дороге против направления машины)

Вы вообще в этом уверены? А зачем тогда дано $l$? Разве двигаясь навстречу автомобилю, человек будет не сокращать рассотяние до него(или сокращать медленнее, чем если он будет бежать, скажем, под прямым углом к шоссе)? Если он будет бежать так, как я понимаю из вашего предложения, то он совершенно точно не попадёт на шоссе раньше автомобиля и уж конечно он не окажется на шоссе в максимально возможном удалении от автомобиля.

Цитата:

Конкретно задачу из Савченко...

Конкретно задача из Савченко - это не та задача, которая меня сейчас интересует. Хотя она и надвигает на некоторые интересные соображения, но я не вижу способа увязать эти соображения с условиями стоящей передо мной задачи. Задача из Савченко - строго говоря, другая. Она похожа на мою по сюжету, но в ней спрашивается "где может находиться человек, чтобы он мог, двигаясь со своей скоростью, попасть на автобус", а в моей задаче спрашивается "в какую сторону надо бежать из конкретного места, чтобы оказаться на шоссе как можно дальше спереди от машины".

Если я тут не прав, тогда объясните - почему.

[Xblow]

Дело в том, что задача из Савченко рассматривает экстремальный случай (при заданный скоростях нужно найти наилучшую траекторию и рассчитать максимальное расстояние от дороги, при котором задача имеет смысл). Эта самая наивыгодная траектория и представляет слобой прямую под углом $\alpha = arccos(\frac{u}{v})$ к прямой. Но, вообще говоря, "наивогодная траектория" и означает достижение наибольшего расстояния. Данное в задаче $l$ я понимаю, как намек на написание условий достижения человеком машины, а именно: $\frac{l}{S} \le sin(\arccos(\frac{u}{v})) = \sqrt{1 - (\frac{u}{v})^2$; где $S$ - расстояние от человека до машины.

-- 07.10.2011, 23:05 --

У вас ошибка находится здесь:

Цитата:

По допущению: $s(\alpha)=|x_1-x_2|=|x_0+l\tg\alpha-\frac{ul}{v\cos\alpha}|$

Далее, наверное, нужно найти наибольшее значение этой функции, однако его у ней нету, а ещё каких-то ограничений я не усматриваю.

_________________________________________________________________________

Находя максимум функции, вы пытаетесь решить такую задачу: "Пусть на прямой даны произвольные точки A и B. Найти максимальную возможную длину отрезка AB." Понятно, что это бесконечность.

Если все-таки пытаться решить задачу аналитически, то нужно рассматривать функцию $vt\sqrt{1-(\frac{l}{vt})^2}-ut$ и находить ее максимум. Сам не считал, наверное должно получиться - оставляю вам на десерт :)

[Himfizik]

dnoskov в сообщении #490488 писал(а):

В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автомобиля и как можно дальше от него?

Ну, вот как только не обезобразят "старую добрую" задачу авторы. Однако требование экстремальности здесь все определяет.

[fredy]

Решение становится намного проще и даже очевидным, если рассматривать движение человека из системы отсчета, связанной с автомобилем.

[Xblow]

Тогда задача становится идентичной задаче о движении лодки с одного берега на другой, причем скорость течения больше лодки. То, что она очевидная, я бы не сказал, уравнения получаются те же.

[dnoskov]

Xblow

Xblow в сообщении #490516 писал(а):

Если все-таки пытаться решить задачу аналитически, то нужно рассматривать функцию $vt\sqrt{1-(\frac{l}{vt})^2}-ut$ и находить ее максимум.

Вот вы откуда это выражение взяли? Это расстояние? Его можно получить из моих выкладок? Намекните - как? Я понял, что с помощью модуля тут расстояние (т.е. соответствующую функцию) не найти (надо ещё понять почему). Подскажите, пожалуйста, я вообще нахожусь на одном из верных путей решения задачи?

Xblow в сообщении #490516 писал(а):

задача из Савченко рассматривает экстремальный случай

Но компренде. Это мне ещё предстоит выяснить/осознать/применить/и т.п.

Xblow в сообщении #490516 писал(а):

Находя максимум функции, вы пытаетесь решить такую задачу: "Пусть на прямой даны произвольные точки A и B. Найти максимальную возможную длину отрезка AB." Понятно, что это бесконечность.

Секундочку! Но ведь точки-то не произвольные (там пример $s(\alpha)=|l\cdot\frac{u-v\sin\alpha}{\cos\alpha}-x_0|$, для $l=60, u=16, v=4, x_0=300$)! Каждая из них задаётся выражением от $t=\frac{l}{v\cos\alpha}$, т.е. от $\alpha$! (это не альфафакториал - это я так возмущаюсь/удивляюсь )

(Оффтоп)

Xblow в сообщении #490571 писал(а):

эдентичной

идентичной

fredy

fredy в сообщении #490552 писал(а):

Решение становится намного проще и даже очевидным, если рассматривать движение человека из системы отсчета, связанной с автомобилем.

Я думал об этом. Но уже начал решать другим путём. Позже попробую проследовать вашему совету. А пока что мне нужно понять где и почему ошибся я!

[Xblow]

Цитата:

Вот вы откуда это выражение взяли? Это расстояние? Его можно получить из моих выкладок? Намекните - как? Я понял, что с помощью модуля тут расстояние (т.е. соответствующую функцию) не найти (надо ещё понять почему). Подскажите, пожалуйста, я вообще нахожусь на одном из верных путей решения задачи?

Это натурально формула расстояния между машиной и человеком ($x_{0}$ я опустил, ибо здесь нам это не нужно). Кстати, если максимум получится отрицательный, не пугайтесь, мы ведь опустили $x_{0}$ :)

Цитата:

Секундочку! Но ведь точки-то не произвольные! Каждая из них задаётся выражением от $t=\frac{l}{v\cos\alpha}$, т.е. от $\alpha$! (это не альфафакториал - это я так возмущаюсь/удивляюсь )

s(\alpha) = x_{0} + l*tg\alpha - \frac{ul}{v*cos\alpha} - при выборе $\alpha \to \frac{\pi}{2} => s \to \infty.$ Это не имеет смысла, так ведь?

(Оффтоп)

Цитата:

Xblow в сообщении #490571 писал(а):

эдентичной

идентичной

Спасибо, исправил :)

[dnoskov]

Xblow в сообщении #490585 писал(а):

Это не имеет смысла, так ведь?

Нет - не имеет. При $\alpha \in {\mathbb R}$ действительно не имеет. Но ведь нас не может интересовать $\alpha \in \mathbb R$. Нас интересует хотя бы $\alpha \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$. Но этого условия, очевидно, недостаточно, чтобы получить удовлетворительный результат. Вот я и думаю:

dnoskov в сообщении #490488 писал(а):

... а ещё каких-то ограничений я не усматриваю ...

Однако, то, что я не вижу никаких ещё условий - ещё не значит, что их нет. Ведь человек в действительности не побежит в направлении $\pm\frac{\pi}{2}$ относительно перпендикуляра к шоссе. Так что я думаю, что есть какой-то способ ограничить $\alpha$ ещё.

[Xblow]

dnoskov в сообщении #490588 писал(а):

Xblow в сообщении #490585 писал(а):

Это не имеет смысла, так ведь?

Нет - не имеет. При $\alpha \in {\mathbb R}$ действительно не имеет. Но ведь нас не может интересовать $\alpha \in \mathbb R$. Нас интересует хотя бы $\alpha \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Но этого условия, очевидно, недостаточно, чтобы получить удовлетворительный результат. Вот я и думаю:

dnoskov в сообщении #490488 писал(а):

... а ещё каких-то ограничений я не усматриваю ...

Однако, то, что я не вижу никаких ещё условий - ещё не значит, что их нет. Ведь человек в действительности не побежит в направлении $\pm\frac{\pi}{2}$ относительно перпендикуляра к шоссе. Так что я думаю, что есть какой-то способ ограничить $\alpha$ ещё.

Если вы хотите добавить условия к S = |x_{2} - x_{1}|, чтобы она оказалась верна, то вряд ли вы что-то получите. Ведь в это условие даже не включена скорость машины, а она, как видно, является одной из составляющих ответа.

[dnoskov]

Xblow в сообщении #490589 писал(а):

Ведь в это условие даже не включена скорость машины

Как - невключена?
$t=\frac{l}{v\cos\alpha}$
$x_1(t)=x_0+vt\sin\alpha=x_0+l\tg\alpha=x_1(\alpha)$
$x_2(t)={\bf U}\cdot t=\frac{{\bf U}\cdot l}{v\cos\alpha}=x_2(\alpha)$
$s(\alpha)=|x_1(\alpha)-x_2(\alpha)|=|x_0+l\tg\alpha-\frac{{\bf U}\cdot l}{v\cos\alpha}|$

Или вы о чём-то другом?

[Xblow]

dnoskov в сообщении #490591 писал(а):

Xblow в сообщении #490589 писал(а):

Ведь в это условие даже не включена скорость машины

Как - невключена?
$t=\frac{l}{v\cos\alpha}$
$x_1(t)=x_0+vt\sin\alpha=x_0+l\tg\alpha=x_1(\alpha)$
$x_2(t)={\bf U}\cdot t=\frac{{\bf U}\cdot l}{v\cos\alpha}=x_2(\alpha)$
$s(\alpha)=|x_1(\alpha)-x_2(\alpha)|=|x_0+l\tg\alpha-\frac{{\bf U}\cdot l}{v\cos\alpha}|$

Или вы о чём-то другом?

Тысячу раз извиняюсь! Действительно не увидел! Но разобрав еще раз ваше уравнение, не увидел ошибки:
$S'(\alpha) = 0 => l\frac{1}{cos^{2}\alpha} - \frac{ul*sin \alpha}{v*cos^2\alpha} = 0 => sin\alpha = \frac{v}{u}$ !
Ваше решение правильно, вам, видимо, нужно только потренироваться брать производные ;)

___________________________________

Честно говоря, я думал, вы имели ввиду за $x_{1}$ начальное положение человека. Уж такой я невнимательный..