2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение06.10.2011, 17:26 


04/02/11
113
Мурманск, Дмитров
Термин "изображение многоугольника" не поясняется и считается, вероятно, интуитивно ясным.

Пусть изображением фигуры является тот вид, который может принять фигура при
рассматривании вдоль некоторой прямой (параллельная проекция) или из некоторой точки
(центральная проекция).
Известно, что изображением любого треугольника может быть правильный треугольник
(Шарыгин, Геометрия 10-11, Изображения...).

Изображением какого выпуклого четырёхугольника может быть квадрат?

(Проблема возникла при дискуссии на конференции)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение06.10.2011, 17:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
ну если перспективу не учитывать, очевидно параллелограмма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение06.10.2011, 18:39 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Цитирую с Певзнера Проективная геометрия:
Теорема: каковы бы ни были четыре точки $E_1,E_2,E_3,E_0$ проективной плоскости, из которых никакие три не коллинеарны, существует единственная система проективных координат, в которой эти точки имеют координаты
$$E_1(1:0:0),E_2(0:1:0),E_3(0:0:1),E_0(1:1:1)$$

Так, и я думаю, что проективное преобразование переводит систему координат в систему координат (а пара систем координат определяет одно проективное преобразование). Только я соответствующих утверждений в книге не вижу, хотя есть примеры перехода от одного базиса проективной плоскости к другому базису проективной плоскости.

Т.е. вероятно, что квадрат может быт изображением любого 4-хугольника. Причем, если это верно, то выпуклость даже не нужна. Только еще надо проверить, что смысл проективных преобразований в книгу и у Вас один и тот же.

Доказать точно не смогу - техники не хватит. :-(

-- Чт окт 06, 2011 16:01:13 --

Ага! Нашел!
Базылев, Дуничев Геометрия. Учебное пособие...
Теорема: если на проективной плоскости $\Pi$ задать две упорядоченные четверки точек общего положения $A,B,C,D$ и $A',B',C',D'$, то существует единственное проективное преобразование $f: \Pi \to \Pi, f(A)=A', f(B)=B', f(C)=C', f(D)=D'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение06.10.2011, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
vvsss в сообщении #490078 писал(а):
четырёхугольника

Плоского?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение06.10.2011, 23:37 


04/02/11
113
Мурманск, Дмитров
В дискуссии все собеседники подразумевали именно плоский четырёхугольник.

С параллелограммом ясно, о нём не думали - хотелось найти класс пошире.

В приведенной теореме речь об одной плоскости. Конечно, я могу построить
квадрат с вершинами на четырех произвольных прямых.
Но при разглядывании из точки их пересечения (если задать прямые, имеющие такую точку)
Вы увидите отрезок, а не квадрат.

И первая теорема связана с тетраэдром, а не четырёхугольником.

Спасибо за участие в обсуждении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение07.10.2011, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9983
Москва

(Оффтоп)

Вот и убили Малевича... Вернее, искусствоведов, рассказывавших о том, что "Чёрный Квадрат" потому производит художественное впечатление, что там не квадрат, а особый, найденный Мастером четвероугольник...

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение11.10.2011, 17:36 
Заслуженный участник


11/03/08
535
Петропавловск, Казахстан
Если проектирование параллельное - то параллелограмм. Поскольку параллельное проектирование является аффинным отображением плоскости на плоскость. А все параллелограммы аффинно-эквивалентны (параллельные прямые отображаются на параллельные прямые).
Если проектирование центральное, то имеем дело с проективной геометрией и результат будет как сказал Sonic86 - то есть любой четырехугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение13.10.2011, 14:36 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
А ничего что при некоторых центральных проекциях стороны переходят в их продолжения? Проективно это четырехугольник. А так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?
Сообщение14.10.2011, 09:25 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Замечу, что в процитированной теореме существования речь идет о проективном отображении, а в первоначальной постановке - о перспективе (центральной проекции). А это не одно и то же. Еще Понселе (в Саратове, на досуге) доказал, что всякое проективное преобразование (а по Понселе это цепочка перспектив) сводится к композиции не более чем двух перспектив. Двух, но не одной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group