Изображением какого четырёхугольника может быть квадрат?

[vvsss]

Термин "изображение многоугольника" не поясняется и считается, вероятно, интуитивно ясным.

Пусть изображением фигуры является тот вид, который может принять фигура при
рассматривании вдоль некоторой прямой (параллельная проекция) или из некоторой точки
(центральная проекция).
Известно, что изображением любого треугольника может быть правильный треугольник
(Шарыгин, Геометрия 10-11, Изображения...).

Изображением какого выпуклого четырёхугольника может быть квадрат?

(Проблема возникла при дискуссии на конференции)

[age]

ну если перспективу не учитывать, очевидно параллелограмма.

[Sonic86]

Цитирую с Певзнера Проективная геометрия:
Теорема: каковы бы ни были четыре точки $E_1,E_2,E_3,E_0$ проективной плоскости, из которых никакие три не коллинеарны, существует единственная система проективных координат, в которой эти точки имеют координаты

$$E_1(1:0:0),E_2(0:1:0),E_3(0:0:1),E_0(1:1:1)$$

Так, и я думаю, что проективное преобразование переводит систему координат в систему координат (а пара систем координат определяет одно проективное преобразование). Только я соответствующих утверждений в книге не вижу, хотя есть примеры перехода от одного базиса проективной плоскости к другому базису проективной плоскости.

Т.е. вероятно, что квадрат может быт изображением любого 4-хугольника. Причем, если это верно, то выпуклость даже не нужна. Только еще надо проверить, что смысл проективных преобразований в книгу и у Вас один и тот же.

Доказать точно не смогу - техники не хватит.

-- Чт окт 06, 2011 16:01:13 --

Ага! Нашел!
Базылев, Дуничев Геометрия. Учебное пособие...
Теорема: если на проективной плоскости $\Pi$ задать две упорядоченные четверки точек общего положения $A,B,C,D$ и $A',B',C',D'$, то существует единственное проективное преобразование $f: \Pi \to \Pi, f(A)=A', f(B)=B', f(C)=C', f(D)=D'$.

[Утундрий]

vvsss в сообщении #490078 писал(а):

четырёхугольника

Плоского?

[vvsss]

В дискуссии все собеседники подразумевали именно плоский четырёхугольник.

С параллелограммом ясно, о нём не думали - хотелось найти класс пошире.

В приведенной теореме речь об одной плоскости. Конечно, я могу построить
квадрат с вершинами на четырех произвольных прямых.
Но при разглядывании из точки их пересечения (если задать прямые, имеющие такую точку)
Вы увидите отрезок, а не квадрат.

И первая теорема связана с тетраэдром, а не четырёхугольником.

Спасибо за участие в обсуждении.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Вот и убили Малевича... Вернее, искусствоведов, рассказывавших о том, что "Чёрный Квадрат" потому производит художественное впечатление, что там не квадрат, а особый, найденный Мастером четвероугольник...

[BVR]

Если проектирование параллельное - то параллелограмм. Поскольку параллельное проектирование является аффинным отображением плоскости на плоскость. А все параллелограммы аффинно-эквивалентны (параллельные прямые отображаются на параллельные прямые).
Если проектирование центральное, то имеем дело с проективной геометрией и результат будет как сказал Sonic86 - то есть любой четырехугольник.

[Null]

А ничего что при некоторых центральных проекциях стороны переходят в их продолжения? Проективно это четырехугольник. А так?

[VAL]

Замечу, что в процитированной теореме существования речь идет о проективном отображении, а в первоначальной постановке - о перспективе (центральной проекции). А это не одно и то же. Еще Понселе (в Саратове, на досуге) доказал, что всякое проективное преобразование (а по Понселе это цепочка перспектив) сводится к композиции не более чем двух перспектив. Двух, но не одной.