Слева существуют пределы при

, значит, существует предел и справа (вот тут у меня проблема: это стоит обозначать как

или можно написать просто интеграл?).
Акценты не так расставлены. Не надо в этом месте вообще ничего писать: интеграл справа тупо равен нулю просто в силу аналитичности

Вот теперь -- предельный переход по

и

Второй интеграл слева при этом стремится к интегралу по всей плоскости, который, в свою очередь, равен минус формальному интегралу по всей плоскости (т.е. соответствующему функционалу) от

-- просто
по определению производной от обобщённой функции. А первый интеграл слева стремится, да, к

только опять же с минусом: не надо забывать, что интегрирование по внутренней границе кольца ведётся в отрицательном направлении.