ТФКП: производная от 1/z

[Nimza]

Строго ли следующее обоснование $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} \frac{1}{z} = \pi \delta(z)$, где $z = x + iy$?

$\triangleright$ Пусть $f(z,\bar{z})$ --- комплекснозначная функция из класса Шварца (как функция от $x,y$). Тогда в кольце $K_{\varepsilon,R} = \left\{z: \varepsilon<|z|<R \right\}$ справедлива формула Грина:

$$ \int\limits_{\partial K_{\varepsilon,R}} \frac{f(z,\bar{z})}{z}dz = 2i \int\limits_{K_{\varepsilon,R}} \frac{\partial}{\partial\bar{z}} \frac{f(z,\bar{z})}{z} dRe(z)dIm(z) $$

Правую производную распишем и одно из слагаемых перенесём влево:

$$ \int\limits_{\partial K_{\varepsilon,R}} \frac{f(z,\bar{z})}{z}dz - 2i \int\limits_{K_{\varepsilon,R}} \frac{1}{z} \frac{\partial}{\partial\bar{z}} f(z) dRe(z)dIm(z)= 2i \int\limits_{K_{\varepsilon,R}} f(z) \frac{\partial}{\partial\bar{z}} \frac{1}{z}dRe(z)dIm(z) $$

Слева существуют пределы при $\varepsilon \to 0$, значит, существует предел и справа (вот тут у меня проблема: это стоит обозначать как $v.p.$ или можно написать просто интеграл?). По формуле Коши-Помпею (Cauchy-Pompeiu) выражение слева после перехода к пределу есть $2\pi i f(0)$. Таким образом

$$ \int\limits_{|z| \leqslant R} f(z) \frac{\partial}{\partial\bar{z}} \frac{1}{z}dRe(z)dIm(z) = \pi f(0) $$

Ну а этот интеграл можно записать как интеграл по всей комплексной плоскости. $\triangleleft$

[ewert]

Nimza в сообщении #489153 писал(а):

Слева существуют пределы при $\varepsilon \to 0$, значит, существует предел и справа (вот тут у меня проблема: это стоит обозначать как $v.p.$ или можно написать просто интеграл?).

Акценты не так расставлены. Не надо в этом месте вообще ничего писать: интеграл справа тупо равен нулю просто в силу аналитичности $\dfrac1z.$

Вот теперь -- предельный переход по $\varepsilon\to0$ и $R\to+\infty.$ Второй интеграл слева при этом стремится к интегралу по всей плоскости, который, в свою очередь, равен минус формальному интегралу по всей плоскости (т.е. соответствующему функционалу) от $f(z)\cdot\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}\,\dfrac{1}{z}$ -- просто по определению производной от обобщённой функции. А первый интеграл слева стремится, да, к $2\pi i\,f(0),$ только опять же с минусом: не надо забывать, что интегрирование по внутренней границе кольца ведётся в отрицательном направлении.

[Nimza]

Спасибо, я понял, что пренебрёг определением производной от обобщённой функции