Под реализацией абстрактного

-мерного риманова многообразия понимается его отображение (инъективное) в плоское пространство размерности

. Проще говоря, нужно найти такие

функций

переменных, чтобы составленный из них вектор

удовлетворял соотношениям

. Жэ-мю-ня, понятно, некоторая заданная метрика (невырожденная).
Казалось бы, за что в такой сурово-глобальной постановке вообще попервах хвататься? Однако же, приметил я одну презабавнейшую забаву...
Введем в рассмотрение оператор
![$$F\left[ u \right] \equiv \frac{1}{{\sqrt g }}\left( {\sqrt g g^{\alpha \beta } u_{,\alpha } } \right)_{,\beta }$$ $$F\left[ u \right] \equiv \frac{1}{{\sqrt g }}\left( {\sqrt g g^{\alpha \beta } u_{,\alpha } } \right)_{,\beta }$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/c/a2cc8fcd100d720a7ce81238d8ef08ea82.png)
Тогда оказывается, что пространство решений уравнения
![$F\left[ {\mathbf{r}} \right] = \lambda {\mathbf{r}}$ $F\left[ {\mathbf{r}} \right] = \lambda {\mathbf{r}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/b/1cb4f4180786eb4839f87d69aed41ce282.png)
(где

- некоторая скалярная функция) достаточно обширно, чтобы искомое отображение можно было отыскать среди

(где ушки - базис пространства решений, а цешки - постоянные векторы). Лямбда подбирается из условия максимальной кошерности свойств реализации, о чем можно наговорить множество букв, но гораздо проще проверить алгоритм на стандартных реализациях сфер, чтобы понять о чем речь.