О реализации римановых многообразий

[Утундрий]

Под реализацией абстрактного $n$-мерного риманова многообразия понимается его отображение (инъективное) в плоское пространство размерности $N (N>n)$. Проще говоря, нужно найти такие $N$ функций $n$ переменных, чтобы составленный из них вектор ${\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}\left( {x^1 ,x^2 ,...x^n } \right)$ удовлетворял соотношениям ${\mathbf{r}}_{,\mu } \circ {\mathbf{r}}_{,\nu } = g_{\mu \nu }$. Жэ-мю-ня, понятно, некоторая заданная метрика (невырожденная).

Казалось бы, за что в такой сурово-глобальной постановке вообще попервах хвататься? Однако же, приметил я одну презабавнейшую забаву...

Введем в рассмотрение оператор

$$F\left[ u \right] \equiv \frac{1}{{\sqrt g }}\left( {\sqrt g g^{\alpha \beta } u_{,\alpha } } \right)_{,\beta }$$

Тогда оказывается, что пространство решений уравнения $F\left[ {\mathbf{r}} \right] = \lambda {\mathbf{r}}$ (где $\lambda$ - некоторая скалярная функция) достаточно обширно, чтобы искомое отображение можно было отыскать среди ${\mathbf{r}} = \sum\limits_i {{\mathbf{C}}_i u_i }$ (где ушки - базис пространства решений, а цешки - постоянные векторы). Лямбда подбирается из условия максимальной кошерности свойств реализации, о чем можно наговорить множество букв, но гораздо проще проверить алгоритм на стандартных реализациях сфер, чтобы понять о чем речь.

[Padawan]

Есть же теорема Нэша. Вот, нашел http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=5232&option_lang=rus

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #489831 писал(а):

отыскать среди ${\mathbf{r}} = \sum\limits_i {{\mathbf{C}}_i u_i }$ (где ушки - базис пространства решений,

пространства решений чего?

[Утундрий]

Padawan
Оттуда разве можно вытянуть какой-то конкретный рецепт? Я всегда считал результаты Нэша только лишь теоремами существования.

Oleg Zubelevich в сообщении #489982 писал(а):

пространства решений чего?

Уравнения $F\left[ {\mathbf{r}} \right] = \lambda {\mathbf{r}}$.