помогите понять пределы

[igor4444]

Помогите понять предел функции в точке. Допустим есть непрерывная функция$y(x)$, если есть предел ф-ии в точке $x_0$, то на произвольном участке $x_0-x_n$ начиная от $x_n\mapsto x_0$, $x_n+1$ будет всегда ближе по значению к $x_0$(стремится к нему), чем предыдущее $x_n$? И аналогично каждое следующее значение игрек, начиная от крайнего будет ближе к пределу? ($y_n+1>y_n$, либо $yn+1<yn$ в зависимости от того выше или ниже точка отчета $y_n$ чем предел $y_0$)?
По определению(гейне) число называют пределом если значение функции стремится к нему, для любой последовательности $x_n\mapsto x_0$. А если на каком-либо участке где $x_n$ все время стремится к $x_0$, соответствующее значение ф-ии не стремится к пределу?
Извиняюсь если запутанно. Спасибо.

[Kallikanzarid]

igor4444
Непрерывная функция имеет предел в каждой точке, в которой она определена, и этот предел равняется ее значению в этой точке.

Вам нужно выписать формальное определение предела и тыкнуть пальцем, где у вас возникают проблемы с его пониманием :)

[igor4444]

Ну значение, к которому функция приближается при приближении аргумента к определённой точке $x_0$. $y_0$ для данного $x_0$? Но, что тогда означает "приближается", и чем предел отличается от значения функции в точке?

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

не оформлены формулы

[Toucan]

Ничего не понял, но тему вернул.

[Cash]

Цитата:

на произвольном участке $x_0-x_n$ начиная от $x_n\mapsto x_0$, $x_{n+1}$ будет всегда ближе по значению к $x_0$(стремится к нему), чем предыдущее $x_n$?

Совершенно необязательно. Последовательность $\{x_n\}$ необязательно должна быть монотонной. Но для каждого $n$ при условии, что $x_n\neq x_0$ существует такое $N$, что для всех $k\geqslant N$, $x_{n+k}$ будет ближе к $x_0$ чем $x_n$

Цитата:

И аналогично каждое следующее значение игрек, начиная от крайнего будет ближе к пределу?

И это тоже совсем не обязательно. Даже для монотонной $\{x_n\}$ это верно лишь у монотонной функции.

Рассмотрите, например, функцию Римана
$ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x=0$;}\\ 0,&\text{если $x$ - иррационально;}\\ \frac 1 n,&\text{если $x=\frac m n$, где $m \in \mathbb Z^\ast, n \in \mathbb N, (m,n)=1$} \end{cases} $
Здесь монотонностью и не пахнет, однако в нуле и иррациональных точках она будет непрерывна

[igor4444]

теперь понятней, спасибо.