Пример несуществования компл. интеграла

[agranom]

Здравствуйте! Можно ли привести пример пути $\gamma$, для которого

$$\int\limits_\gamma z\,dz$$

не существует?

[Brukvalub]

Подойдёт любой неспрямляемый путь.

[RIP]

Brukvalub
Вы уверены в этом?
Если взять неспрямляемый путь

$$\gamma_1(t)=\begin{cases}t\cos\frac{\pi}t,&t\in(0;1],\\ 0,&t=0, \end{cases}$$

то вроде бы интеграл $\int\limits_{\gamma_1}z\,dz$ существует.

Однако для пути

$$\gamma(t)=\begin{cases}\sqrt t\cos\frac{\pi}t,&t\in(0;1],\\ 0,&t=0 \end{cases}$$

легко показать, что интеграл не существует.

Замечание. Если нужен жорданов путь, то можно взять $\tilde{\gamma}(t)=t+i\gamma(t)$

[Brukvalub]

Вы, RIP правы, я допустил небрежность в своём высказывании. Конечно, имелось в виду, что неспрямляемый путь нужно сдвинуть относительно точки 0 (говоря строго,применить к нему параллельный перенос), чтобы поведение переменной z в окрестности нуля не сказывалось при исследовании интеграла. Я считал, что вопрошающий сможет сам додумать такие мелочи. Но теперь поздно оправдываться, я опозорил невежеством свои седины и, посыпая голову пеплом немедленно удаляюсь в пустыню.

[RIP]

Ну слава Богу, а то я подумал, что это меня глючит (замучился доказывать сходимость этого интеграла, поэтому думал, что где-то ошибку допустил)

Добавлено спустя 5 минут 57 секунд:

Brukvalub писал(а):

Вы, RIP правы, я допустил небрежность в своём высказывании. Конечно, имелось в виду, что неспрямляемый путь нужно сдвинуть относительно точки 0 (говоря строго,применить к нему параллельный перенос), чтобы поведение переменной z в окрестности нуля не сказывалось при исследовании интеграла. Я считал, что вопрошающий сможет сам додумать такие мелочи. Но теперь поздно оправдываться, я опозорил невежеством свои седины и, посыпая голову пеплом немедленно удаляюсь в пустыню.

Не переживайте, с каждым бывает.
А я подумал, что теорема такая существует.

Добавлено спустя 5 минут 9 секунд:

Brukvalub
Боюсь Вас совсем расстроить, но, по-моему, параллельный перенос никак не отражается на существовании/несуществовании интеграла