2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пример несуществования компл. интеграла
Сообщение15.01.2007, 00:01 
Здравствуйте! Можно ли привести пример пути $\gamma$, для которого $$\int\limits_\gamma z\,dz$$ не существует?

 
 
 
 
Сообщение15.01.2007, 00:06 
Аватара пользователя
Подойдёт любой неспрямляемый путь.

 
 
 
 
Сообщение15.01.2007, 04:58 
Аватара пользователя
Brukvalub
Вы уверены в этом?
Если взять неспрямляемый путь
$$\gamma_1(t)=\begin{cases}t\cos\frac{\pi}t,&t\in(0;1],\\
                                         0,&t=0,
                      \end{cases}$$
то вроде бы интеграл $\int\limits_{\gamma_1}z\,dz$ существует.

Однако для пути
$$\gamma(t)=\begin{cases}\sqrt t\cos\frac{\pi}t,&t\in(0;1],\\
                                         0,&t=0
                      \end{cases}$$
легко показать, что интеграл не существует.

Замечание. Если нужен жорданов путь, то можно взять $\tilde{\gamma}(t)=t+i\gamma(t)$

 
 
 
 
Сообщение15.01.2007, 07:47 
Аватара пользователя
Вы, RIP правы, я допустил небрежность в своём высказывании. Конечно, имелось в виду, что неспрямляемый путь нужно сдвинуть относительно точки 0 (говоря строго,применить к нему параллельный перенос), чтобы поведение переменной z в окрестности нуля не сказывалось при исследовании интеграла. Я считал, что вопрошающий сможет сам додумать такие мелочи. Но теперь поздно оправдываться, я опозорил невежеством свои седины и, посыпая голову пеплом немедленно удаляюсь в пустыню. :oops: :oops: :oops: :cry:

 
 
 
 
Сообщение15.01.2007, 08:25 
Аватара пользователя
Ну слава Богу, а то я подумал, что это меня глючит (замучился доказывать сходимость этого интеграла, поэтому думал, что где-то ошибку допустил)

Добавлено спустя 5 минут 57 секунд:

Brukvalub писал(а):
Вы, RIP правы, я допустил небрежность в своём высказывании. Конечно, имелось в виду, что неспрямляемый путь нужно сдвинуть относительно точки 0 (говоря строго,применить к нему параллельный перенос), чтобы поведение переменной z в окрестности нуля не сказывалось при исследовании интеграла. Я считал, что вопрошающий сможет сам додумать такие мелочи. Но теперь поздно оправдываться, я опозорил невежеством свои седины и, посыпая голову пеплом немедленно удаляюсь в пустыню. :oops: :oops: :oops: :cry:

Не переживайте, с каждым бывает.
А я подумал, что теорема такая существует.

Добавлено спустя 5 минут 9 секунд:

Brukvalub
Боюсь Вас совсем расстроить, но, по-моему, параллельный перенос никак не отражается на существовании/несуществовании интеграла

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group