Треугольники в аффинной геометрии равны

[ean]

Нужно показать, что все треугольники в аффинной геометрии равны.
Аффинная геометрия - это группа $GA_n(K) = Trans(K^n)\cdot GL_n(K)$, где $Trans(K^n)$ - группа параллельных переносов, $GL_n(K)$ - группа линейных преобразований $K^n$ (обозначения по Винбергу).
Есть треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. Чтобы показать, что треугольники равны нужно найти такое преобразование $f = t\cdot\varphi, t \in Trans(K^n), \varphi \in GL_n(K)$ из геометрии, что $f(A)=A', f(B)=B', f(c)=C'$.
Для любой пары точек есть преобразование, которое одну точку переводит в другую:

$$\begin{array}{cc} t_B \cdot \varphi_B (A) = B, \\ t_C \cdot \varphi_C (A) = C, \\ t_{B'} \cdot \varphi_{B'} (A') = B', \\ t_{C'} \cdot \varphi_{C'} (A') = C'. \end{array}$$

То есть нам нужны такие $t$ и $\varphi$, что выполняются

$$\begin{array}{cc} t \cdot \varphi (A) = A', \\ t \cdot \varphi \cdot t_B \cdot \varphi_B (A) = t_{B'} \cdot \varphi_{B'} (A'),\\ t \cdot \varphi \cdot t_C \cdot \varphi_C (A) = t_{C'} \cdot \varphi_{C'} (A'). \end{array}$$

А вот что дальше с этим делать я не понимаю. То есть геометрически понятно, что один треугольник можно "натянуть" на другой и, если с матрицами играться, то получается 6 уравнений с 6 неизвестными, то есть найти линейное преобразование и сдвиг можно. А как в данном случае продолжать? Наверное, не стоит пытаться явные выражения для $\varphi$ и $t$ получить, они довольно сложные будут.

[Cash]

Школьное доказательство основывается на 3 элементарных шагах:
1. С помощью растяжения вдоль произвольной стороны произвольный треугольник переводится в равнобедренный
2. С помощью растяжения вдоль основания равнобедренный треугольник переводится в равносторонний.
3. Подобием произвольный равносторонний переводится в единичный.

Но по-моему через матрицы оно побыстрее будет...

[ean]

Я понимаю как это показать с помощью геометрических соображений или посчитать матричные операторы. Хотелось бы увидеть как на языке групп показать, что существует такое преобразованик
Е