ПочтиТаннелл для треугольника с рациональными длинами сторон

[scwec]

Привожу пример рационального прямоугольного треугольника с площадью $S_2$.
$a,b,c,S_2,\gamma$ из предыдущего сообщения.
Обозначим $K=|(a^2+b^2){\cos{\gamma}}-2ab|\ne{0}$.
$A,B,C$ - стороны прямоугольного рационального треугольника с площадью $S_2$.
$A=\frac{4c{S_2}}{K},B=\frac{K}{2c},C=\frac{c^4+16S{_2}^2}{2cK}$.
Таким образом, необходимость доказана.
Лирическое отступление.
Ничего не сообщаю о той элементарной пружинке, которая позволяет искать такие треугольники.
Замечу только, что с её помощью можно, например, элементарно доказать трудную основополагающую теорему о четырех рациональных точках кручения на эллиптической кривой $y^2=x^3-{s^2}x$, где целое $s$ является площадью прямоугольного треугольника с рациональными сторонами, не прибегая к арифметике остатков по модулю $p$ и теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. (Классическое доказательство с использованием этих средств можно прочитать в любой книге по эллиптическим кривым).
Возвращаясь к теме. Теперь надо доказать достаточность. Т.е. если $S_1,S_2$ - рациональные числа, являющиеся площадями двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то существует треугольник с рациональными сторонами и площадью $S=2{S_1}{S_2}$

[nnosipov]

scwec, очень интересная техника. Насколько всё это ново (я имею в виду элементарный подход)? Мне раньше не попадалось, но я не специалист в этих делах.

[scwec]

nnosipov, в отношении новизны подхода, мне кажется,что это отдельная тема. А вот что бы хотелось, так это довести до конца доказательство первоначального утверждения.

[scwec]

Для доказательства достаточности, т.е. того, что если $S_1,S_2$ - рациональные числа, являющиеся площадями прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то $S=2{S_1}{S_2}$ является площадью треугольника с рациональными сторонами, предлагаю такой путь:
пусть $u_1,u_2,u_3,u_4$ - положительные числа и $u_2>u_4$.
Докажите, что величины ${{u_1}^2}{{u_2}^2}+{{u_3}^2}{{u_4}^2},{{u_2}^2}{{u_3}^2}+{{u_4}^2}{{u_1}^2},({u_1}^2+{u_3}^2)({u_2}^2-{u_4}^2)$ - являются длинами сторон некоторого треугольника с площадью $S={u_1}{u_2}{u_3}{u_4}({u_1}^2+{u_3}^2)({u_2}^2-{u_4}^2)$
После этого останется сделать один шаг для доказательства достаточности.

[scwec]

Пусть $R,v_1,v_2,v_3,v_4$ положительные числа и $v_2>v_4$.
$a=R({v_1}^2{v_2}^2+{v_3}^2{v_4}^2)$,
$b=R({v_2}^2{v_3}^2+{v_4}^2{v_1}^2)$
$c=R({v_2}^2-{v_4}^2)({v_1}^2+{v_3}^2)$.
Тогда $a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0$ и площадь треугольника с длинами сторон $a,b,c$
$S={v_1}{v_2}{v_3}{v_4}({v_2}^2-{v_4}^2)({v_1}^2+{v_3}^2)R^2$. Проверяется вычислениями.
Доказательство достаточности.
Пусть имеется два рациональных числа $S_1$ и $S_2$, являющихся площадями рациональных прямоугольных треугольников. Тогда, как известно, найдутся три рациональных $v,v_1,v_2$ таких, что ${v_1}^2+{v_2}^2=v^2$ и $2S_1={v_1}{v_2}=(\frac{1}{v^2}){v_1}{v_2}({v_1}^2+{v_2}^2)$
и три рациональных $m,v_2,v_4$ таких, что $S_2={m^2}{v_2}{v_4}({v_2}^2-{v_4}^2)$, ${v_2}>{v_4}$.
Обозначим $R=\frac{m}{v}$
$2{S_1}{S_2}={v_1}{v_2}{v_3}{v_4}({v_2}^2-{v_4}^2)({v_1}^2+{v_3}^2)R^2$
Рассмотрим треугольник с рациональными длинами сторон $A=R({v_1}^2{v_2}^2+{v_3}^2{v_4}^2)$,
$B=R({v_2}^2{v_3}^2+{v_4}^2{v_1}^2)$, $C=R({v_2}^2-{v_4}^2)({v_1}^2+{v_3}^2)$.
Площадь его $S={v_1}{v_2}{v_3}{v_4}({v_2}^2-{v_4}^2)({v_1}^2+{v_3}^2)R^2=2{S_1}{S_2}$. Таким образом достаточность доказана.
И теперь остается доказать, что любое рациональное число $N$ представляется в виде $N=2{S_1}{S_2}$, где рациональные $S_1,S_2$-площади прямоугольных треугольников с рациональными сторонами.
Я просто выпишу длины сторон двух таких треугольников без объяснения причин для $N\ne{1;4}$. Излагать их здесь долгая история.
Хотя, если говорить откровенно, эти причины и есть самое интересное во всем этом деле.
Первый треугольник.
$a_1=|\frac{4(1-N)}{N+2}|$,$b_1=|\frac{3N(N-4)}{(N+2)^2}|$,$c_1=|\frac{5N^2-4N+8}{(N+2)^2}|$
$S_1=|\frac{6N(1-N)(N-4)}{(N+2)^3}|$.
Второй треугольник.
$a_2=|\frac{(N+2)^2}{6(1-N)}|$, $b_2=|\frac{N+2}{N-4}|$, $c_2=|\frac{(N^2-2N+10)(N+2)}{6(N-4)(1-N)}|$,
$S_2=|\frac{(N+2)^3}{12(1-N)(N-4)}|$
$N=2{S_1}{S_2}$
Отдельно для $N=1;4$ можно взять, например, ${S_1=7},{S_2=\frac{1}{14}}$, $2{S_1}{S_2}=1$ и ${S_1=28},{S_2=\frac{1}{14}}$, $2{S_1}{S_2}=4$
Ведь $7$ и $14$ ,как известно, площади рациональных прямоугольных треугольников.
Теперь доказательство того, что любое рациональное число может быть площадью некоторого рационального треугольника завершено.
Для рациональных прямоугольных треугольников, как известно, только конгруэнтные числа могут быть площадями. На это есть критерий Таннелла,
правда, в одну сторону зависящий от справедливости гипотезы BSD.