ПочтиТаннелл для треугольника с рациональными длинами сторон

[scwec]

Докажите, что любое натуральное число $S$ является площадью треугольника с рациональными длинами сторон. Приведите примеры для $S=1,2,3$.

[age]

Сводится к виду $4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2=16S^2$, где $a,b,c$ - стороны треугольника

[scwec]

Можно применить параметризацию Кармайкла. Треугольник имеет рациональные стороны и площадь $a,b,c,S$ тогда и только тогда, когда $a=n(m^2+h^2), b=m(n^2+h^2), c=(m+n)(mn-h^2)$,
$S=hmn(m+n)(mn-h^2)$, где $m,n,h$ - положительные рациональные числа и $mn>h^2$. Доказывается просто.
После этого остается доказать, что $S$ может быть любым натуральным (и рациональным) числом при надлежащем выборе $m,n,h$. Это очень заманчивый путь.
Сразу оговорюсь, что элементарный способ решения, который имелся в виду, не использует ни уравнения, предложенного age, ни указанной параметризации.
Хотя треугольники для $S=1,2,3$ с помощью Кармайкловской параметризации получить, кажется, проще.

[nnosipov]

scwec в сообщении #480476 писал(а):

Хотя треугольники для $S=1,2,3$ с помощью Кармайкловской параметризации получить, кажется, проще.

Тупой перебор доставляет эти (и ещё некоторые другие) примеры за считанные секунды. Но сама задача, конечно, от этого проще не становится. Вообще, интересный сюжет, спасибо. Где, кстати, можно почитать о параметризации Кармайкла? Это не тот ли, которого числа Кармайкла?

[scwec]

Несколько замечаний по поводу задачи.
1. Задача, по-моему, сложная. Но, как ни странно, с элементарным и не очень длинным решением.
2. Кармайкл тот. Читать можно Robert D. Carmichael Diophantine Analysis.
И кое-что здесь http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html.
По существу задачи: после непростого доказательства естественно рассмотреть вопрос - для всех ли $S$ количество треугольников с заданной площадью бесконечно? Здесь возможно два варианта:
- переход к эллиптическим кривым, что немного затронул Коблиц в книге по эллиптическим кривым и модулярным формам.
- рассмотрение некоторой дискретной динамической системы с хаотическим поведением траекторий.
Во втором случае, как мне кажется, существует элементарное решение в духе В.Серпинского.

[scwec]

Разобьем задачу на две части и рассмотрим сначала первую часть.
$1$. Докажите, что рациональное число $S$ является площадью треугольника с рациональными сторонами тогда и только тогда, когда $S={2}{S_1}{S_2}$, где $S_1$ и $S_2$ рациональные числа, являющиеся площадями двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами.
Вторую часть есть смысл сформулировать и рассмотреть после доказательства $1$.

[scwec]

Пусть задан треугольник с рациональными сторонами и площадью. Может ли выполняться следующее равенство? ${\cos}{\alpha}=\frac{2ab}{a^2+b^2}$, где $a,b$ - длины каких-либо двух сторон, $\alpha$ - угол между этими сторонами. Этот вопрос может иметь значение для доказательства утверждения из предыдущего сообщения.

[Oleg Zubelevich]

scwec
я Вам там сообщение отправил в личку

[scwec]

Для Oleg Zubelevich: Ответ отправил.

[scwec]

Предлагаю доказать облегченное утверждение.
В треугольнике с рациональными сторонами и площадью всегда можно найти две стороны $a,b$ , $a{\ne}b$, такие, что $\cos{\alpha}{\ne}\frac{2ab}{a^2+b^2}$, где $\alpha$ - угол между этими сторонами.

[nnosipov]

scwec в сообщении #486326 писал(а):

В треугольнике с рациональными сторонами и площадью всегда можно найти две стороны $a,b$ , $a{\ne}b$, такие, что $\cos{\gamma}{\ne}\frac{2ab}{a^2+b^2}$, где $\gamma$ - угол между этими сторонами.

Если в треугольнике все стороны $a$, $b$, $c$ попарно различны, то система уравнений

$$ \cos{\gamma}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{2ab}{a^2+b^2} \quad \text{и т.д.} $$

неразрешима в вещественных числах. Случай $c=b \neq a$ совсем очевиден. Ну а равносторонний треугольник не может иметь рациональную площадь.
scwec, что-то Вы очень сильно облегчили задачу. Или я чего-то не понимаю? Разъясните, please.

[scwec]

nnosipov, в доказательстве того, что $S=2{S_1}{S_2}$ используется среди других и этот элементарный факт. Ну кто-то ведь должен был доказать его. Теперь можно шагами двигаться дальше. Наверное, придется набросать хотя бы общую схему доказательства.

[nnosipov]

scwec в сообщении #486362 писал(а):

Наверное, придется набросать хотя бы общую схему доказательства.

Давайте, глядишь, за несколько вечеров и одолеем. (Я бы с удовольствием поразмышлял над исходной задачей, но со временем никак.)

[scwec]

Ну, это до завтра.

[scwec]

Будем доказывать необходимость, а именно: для любого треугольника с рациональными сторонами $a,b,c$ и рациональной площадью $S$, всегда найдутся два рациональных числа $S_1,S_2$, являющихся площадями двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами и $S=2{S_1}{S_2}$.
Доказательство. Как было показано выше в любом треугольнике с рациональными сторонами и площадью можно выбрать две стороны $a{\ne}b$ и ${\cos{\gamma}}{\ne}{\frac{2ab}{a^2+b^2}}$,
где $\gamma$ - угол между этими сторонами. Для дальнейшего доказательства выбираем эти стороны.
$S=\frac{1}{2}ab{\sin}{\gamma}=2(\frac{ab}{|a^2-b^2|})(\frac{|a^2-b^2|{\sin{\gamma}}}{4})$. Обозначим выражение в первой скобке $S_1$, а во второй скобке $S_2$.
Ясно, что $S_1$ - площадь прямоугольного треугольника со сторонами $\frac{2ab}{|a^2-b^2|},1,\frac{a^2+b^2}{|a^2-b^2|}$.
Докажите, что $S_2$ - площадь некоторого прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Тем самым необходимость будет доказана.
За ней очередь достаточности, а затем вторая часть, в которой нужно доказать, что любое положительное рациональное число представляется в виде $2{S_1}{S_2}$, где $S_1,S_2$ - рациональные площади двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами.
Конечно, другие подходы приветствуются.