Частные производные высокого порядка

[NG567]

Задача. Дана функция $f=\sin{x^2+y^2}$. Найти значения следующих частных производных при $x=y=0$:

$$\frac{\partial^5{f}}{\partial{x^5}}\quad,\quad\frac{\partial^6{f}}{\partial{x^4}\partial{y^2}}\quad,\quad\frac{\partial^7{f}}{\partial{y^7}}$$

Решение. Как я начал делать:
$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x\cos\left(x^2+y^2\right)$

$\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=2\cos\left(x^2+y^2\right)-4x^2\sin\left(x^2+y^2\right)$

$\frac{\partial^3{f}}{\partial{x^3}}=-8x^3\cos\left(x^2+y^2\right)-12x\sin\left(x^2+y^2\right)$

$\frac{\partial^4{f}}{\partial{x^4}}=-16\left[3x^2+x^4\right]\cos\left(x^2+y^2\right)-12\sin\left(x^2+y^2\right)$

Пока это всё что получилось. (Закономерность установить не удалось.) Ещё пробовал использовать тригонометрические тождества, предже чем дифференцировать, но я не увидел чтобы получалось проще. Есть ли более быстрый способ, чем считать "в лоб"?

[ИСН]

Нету. Есть формула Фаа ди Бруно, но лучше уж в лоб.

-- Вт, 2011-10-04, 14:31 --

Или всё-таки по ней. Как хотите.

[NG567]

Посмотрел Wiki ("Faà di Bruno's formula"). Первый раз вижу. Крутая, спасибо.

Пока я думал, может в общем виде ответ записать с помощью этой формулы , понял что указал не всё условие . Может, это важно. Нужно "вычислить значения частных производных заданной $f$ при $x=y=0$". Исправлю первое сообщение.

-- 04.10.2011, 14:42 --

А по формуле Фаа ди Бруно быстрее чем "в лоб"? Не могу прикинуть, надо попробовать.

Вообще же, это задача с экзамена (то есть её предполагается быстро решить), причём там вряд ли о формуле Фаа ди Бруно слышали.

[ИСН]

АХ, В НУЛЕ!

-- Вт, 2011-10-04, 14:45 --

Да уж, "может"! Это примерно как "посчитайте мне $7^{7^7}$", а потом "мне только последнюю цифру надо".

[NG567]

...я думал это в самом конце нужно подставить. А как нужно на самом деле?

[ИСН]

Ну, можно синус в ряд Тейлора...

[alcoholist]

ИСН в сообщении #489382 писал(а):

Ну, можно синус в ряд Тейлора...

вероятно, такое решение и предполагалось

[NG567]

ИСН, alcoholist спасибо!
Извиняюсь, опять ошибся .
В задаче дана функция

$$f=\sin\left(x^2+y^2\right)$$

Исправлю первое сообщение. Надеюсь, способ решения не изменился. Попробую ваше предложение.

(Оффтоп)

кажется иногда лучше скан задачи картинкой постить, а то уже дважды в одной задаче вру с условием

[ИСН]

Да, разумеется, я так сразу и понял.

(Оффтоп)

нет уж. лучше просто не врать с условием.
скан условия нас бесит. по нему не понять, что на той стороне сидит разумный человек.

[NG567]

Разложение в ряд Тейлора функции двух переменных:

$$f(x,y)=\sum_{k=0}^{n}\frac{T^kf(x_0,y_0)}{k!}+\text{остаточный член}$$

где

$$T=\frac{\partial(x-x_0)}{\partial x}+\frac{\partial(y-y_0)}{\partial y}$$

(Оффтоп)

Цитата:

скан условия нас бесит.

вам нужны мучения

(Оффтоп)

Цитата:

разумеется

[ИСН]

Да не надо двух. Разложите как функцию одной переменной (аргумента синуса).

[NG567]

Ах! Ок!

-- 04.10.2011, 20:53 --

У синуса аргумент $x^2+y^2$.
Разложение в ряд Тейлора в окрестности точки a:

$$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left[f(a)\right]^k}{k!}\left(z-a\right)^k$$

У нас $a=0$ (разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля называется разложением в ряд Маклорена).
Получается

$$sin(x^2+y^2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left[sin(0+0)]^k}{k!}\left(x^2+y^2-0\right)^k=0$$

хм… где я ошибся-то?

[alcoholist]

тот же ряд тейлора, да.. только акккуратно)

[ИСН]

Вы долго будете ходить с этими нулями, как чужестранец с писаною торбою? Плюс ноль, минус ноль... так и самую простую вещь запутать недолго.
И производные от синуса подставьте в явном виде, они же все известны.

[bot]

Дык у него и нет производных. У него $k-$ая степень синуса в нуле вместо $k-$ой производной синуса в нуле.