Выразить плоскую кривую через базис этой плоскости

[Lovi]

Кривая задана системой уравнений:
A(x,y,z)=0 - уравнение плоскости,
S(x,y,z)=0 - уравнение поверхности.

Т.е. плоскость A пересекает поверхность S и в месте пересечения образуется плоская кривая, которую нужно выразить через заданный базис(e1,e2) плоскости A. Базис можно взять ортогональным.

[Yu_K]

Начните со сферы типа $x^2+y^2+z^2=1$ и некоторой плоскости $Ax+By+Cz+D=0$.

[alcoholist]

"Кривая, выраженная через базис" звучит нелепо. То, что Вы имеете ввиду, называется "параметризовать кривую в данном базисе":

$$ r(t)=a(t)e_1+b(t)e_2. $$

Подставляйте ккодинаты этого вектора в уравнение поверхности подбирайте функции $a$ и $b$.

[Someone]

Пусть базисные векторы на плоскости $\vec e_1=\{l_1,m_1,n_1\}$ и $\vec e_2=\{l_2,m_2,n_2\}$. Начало системы координат на плоскости обозначим $Q(x_0,y_0,z_0)$. Координаты на плоскости будем обозначать $X$ и $Y$. Тогда пространственные координаты $x$, $y$, $z$ выражаются через $X$ и $Y$. Подставляете эти выражение в уравнение поверхности $S(x,y,z)=0$ и получаете уравнение линии на плоскости, выраженное через координаты на этой плоскости.

P.S. Если Вы планируете продолжать участие в нашем форуме, срочно изучайте правила записи формул и не нарушайте правила (Ваше первое сообщение в этой теме уже злостно нарушает правила). С правилами записи формул можно ознакомиться в темах http://dxdy.ru/topic45202.html (видеопособие), http://dxdy.ru/topic8355.html (начальные сведения), http://dxdy.ru/topic183.html (много всякой информации; справочник по кодам символов). Если будете нарушать правила, модератор отправит тему в Карантин для исправления.

[Lovi]

alcoholist в сообщении #488955 писал(а):

"Кривая, выраженная через базис" звучит нелепо. То, что Вы имеете ввиду, называется "параметризовать кривую в данном базисе":

$$ r(t)=a(t)e_1+b(t)e_2. $$

Да, именно это я и имею ввиду: $e_1=e_1(x,y,z)$ и $e_2=e_2(x,y,z)$ известны(их найти легко), а нужно найти $a(t)$ и $b(t)$ для данной кривой.

alcoholist в сообщении #488955 писал(а):

Подставляйте ккодинаты этого вектора в уравнение поверхности подбирайте функции $a$ и $b$.

Ну вот допустим в качестве поверхности дана сфера(как предложил пользователь Yu_K) $x^2+y^2+z^2=1$. Куда тут что нужно вставить?

Someone в сообщении #488976 писал(а):

Пусть базисные векторы на плоскости $\vec e_1=\{l_1,m_1,n_1\}$ и $\vec e_2=\{l_2,m_2,n_2\}$. Начало системы координат на плоскости обозначим $Q(x_0,y_0,z_0)$. Координаты на плоскости будем обозначать $X$ и $Y$. Тогда пространственные координаты $x$, $y$, $z$ выражаются через $X$ и $Y$. Подставляете эти выражение в уравнение поверхности $S(x,y,z)=0$ и получаете уравнение линии на плоскости, выраженное через координаты на этой плоскости.

Ну то есть любую точку $M(X,Y)$ на плоскости $A(x,y,z)$ можно представить, как $\overrightarrow {QM}=X\vec e_1+Y\vec e_2$.

Someone в сообщении #488976 писал(а):

Тогда пространственные координаты $x$, $y$, $z$ выражаются через $X$ и $Y$. Подставляете эти выражение в уравнение поверхности $S(x,y,z)=0$ и получаете уравнение линии на плоскости, выраженное через координаты на этой плоскости.

Не понимаю . Поясните пожалуйста.

Someone в сообщении #488976 писал(а):

P.S. Если Вы планируете продолжать участие в нашем форуме, срочно изучайте правила записи формул и не нарушайте правила (Ваше первое сообщение в этой теме уже злостно нарушает правила). С правилами записи формул можно ознакомиться в темах http://dxdy.ru/topic45202.html (видеопособие), http://dxdy.ru/topic8355.html (начальные сведения), http://dxdy.ru/topic183.html (много всякой информации; справочник по кодам символов). Если будете нарушать правила, модератор отправит тему в Карантин для исправления.

Хорошо, спасибо.

[alcoholist]

Lovi в сообщении #489200 писал(а):

Да, именно это я и имею ввиду: $e_1=e_1(x,y,z)$ и $e_2=e_2(x,y,z)$ известны(их найти легко), а нужно найти $a(t)$ и $b(t)$ для данной кривой.

тогда в чем трудность? Выражайте и подставляйте

[Someone]

Lovi в сообщении #489200 писал(а):

Не понимаю . Поясните пожалуйста.

Lovi в сообщении #489200 писал(а):

Ну то есть любую точку $M(X,Y)$ на плоскости $A(x,y,z)$ можно представить, как $\overrightarrow {QM}=X\vec e_1+Y\vec e_2$.

Запишите это равенство в координатах $x,y,z$.