Привести пример такого Евклидова пространства:?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

А что нынче вообще понимают под "евклидовым пространством"? Я глянул в Математическую энциклопедию, так там написано, что это "конечномерное действительное векторное пространство $\mathbb R^n$ со скалярным произведением $(x,y)$, $x,y \in \mathbb R^n$, к-рое в надлежащим образом выбранных координатах (декартовых) $x = (x_1,\ldots,x_n)$ и $y= (y_1,\ldots,y_n)$ выражается формулой $(x,y)=\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i$".

[nnosipov]

(Оффтоп)

Я студентам говорю то же самое (конечномерное векторное пространство над $\mathbb{R}$ с положительным скалярным произведением). Здесь, видимо, убирается конечномерность.

[ewert]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #489123 писал(а):

"конечномерное действительное векторное пространство $\mathbb R^n$ со скалярным произведением $(x,y)$, $x,y \in \mathbb R^n$, к-рое в надлежащим образом выбранных координатах (декартовых) $x = (x_1,\ldots,x_n)$ и $y= (y_1,\ldots,y_n)$ выражается формулой $(x,y)=\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i$".

Это правда, и в задачке следовало бы говорить о предгильбертовом пространстве (хотя такая вольная трактовка: дескать, евклидовым считается любое линейное пространство с любым скалярным произведением -- тоже встречается). Впрочем, надо сказать, что Математическая энциклопедия тоже проявляет некоторую неграмотность если и не по существу,то в изложении своих мыслей: все слова, начиная с "к-рое" -- излишни, т.е. в определении совершенно неуместны.

[nnosipov]

ewert в сообщении #489131 писал(а):

(Оффтоп)

все слова, начиная с "к-рое" -- излишни, т.е. в определении совершенно неуместны.

(Оффтоп)

Согласен, тоже бросилось в глаза.

[мат-ламер]

Моя ошибка состояла в том, что в неполном пространстве многочленов выбрал замкнутое полное подпространство (констант). Естественно, что проекция на него существует, (а следовательно, пространство разлагается в ортогональную сумму). А вот если выбрать замкнутое, но не полное подпространство (например, подпространство многочленов, проходящих через нуль), то вроде всё проходит. Посмотрев литературу, выяснил, что это задача 3.36 из задачника Треногина. Там решение через пространство непрерывных функций.

[ewert]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #489171 писал(а):

выяснил, что это задача 3.36 из задачника Треногина

Ну вообще-то задачка идейная, и её, наверное, много где можно найти. Или это именно Треногин тот злыдень, который обозвал предгильбертово пространство евклидовым?...