Есть ли такая теорема про асимптотику

[Sonic86]

Пишу на естественном языке, просьба не придираться к формулировкам.

Пусть у нас есть некоторая конечная сумма $\sum\limits_{k=1}^n a_{k,n}$, где $a_{k,n}$ - элементарная функция (м.б. даже Уже) и мы хотим подсчитать произвольное конечное число членов ее асимптотического ряда (о базисе разложения ничего не знаю). Тогда, если $a_{k,n}$ мало-мальски сложная функция (напр., не многочлен), то в асимптотическом ряде хотя бы 1 (но не более) коэффициент нельзя посчитать по-нормальному (напр., через формулу суммирования Эйлера-Маклорена, через метод неопределенных коэффициентов, или просто, если "в лоб" считать) - надо использовать какие-то другие методы или приемы (ТФКП, например).
Например, асимптотика для $n!$ или $\binom{2n}{n}$ - "несчитаемый" коэффициент - $\sqrt{2 \pi}$. Или если ряд $\sum\limits_{k=1}^n a_{k,n}$ сходится, то "несчитаемый коэффициент" - его сумма. Или $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ - "несчитаемый" коэффициент $\gamma$, а все остальные коэффициенты рациональны. Или $\sum\limits_{p \leq n} \frac{1}{p}$ - "несчитаема" постоянная Мертенса. И вообще, если сумма $\sum\limits_{k=1}^n a_{k,n}$ неограниченно возрастает и базис асимптотического ряда хороший, то отняв несколько членов ряда, мы получим ограниченную варианту, предел которой, опять же, не считается.

Есть ли какие-то теоремы об этом. Например, доказательство того, что число "несчитаемых" коэффициентов не более одного и критерий наличия такого коэффициента. В Фихтенгольце и в де Брейне и в Кнуте нету.

[Null]

Ну там почти везде числа Бернулли вылазят, видимо про них надо искать, там где-то даже формула суммирования для хороших функций есть.

[Sonic86]

Null в сообщении #488626 писал(а):

Ну там почти везде числа Бернулли вылазят, видимо про них надо искать, там где-то даже формула суммирования для хороших функций есть.

Вы имеете ввиду формулу Эйлера-Маклорена?
Так все равно непонятно: числа Бернулли-то везде, а не считается коэффициент только один.

[Vince Diesel]

Возможно, в какой-то мере ответ дает как раз формула суммирования Эйлера-Маклорена. Там присутсвует один интеграл и многопроизводных Если $a_{k,n}$ выражаются через элементарные функции, то и производные тоже выражаются. Как следствие, соответсвующие члены ассимптотики получаются сразу, и новых, по сравнению с исходной функцией, констант не возникает. А при интегрировании элементарной функции может получиться неэлементарная, и определенный интеграл от нее на положительном луче, скажем, не обязан выражаться через что-нибудь хорошее.

Или, в символьном виде, если записать разность как $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=(e^D-1)f(x)$, где $D$ - оператор дифференцирования, то обратный оператор можно представить как $\Delta^{-1}=(e^D-1)^{-1}=D^{-1}-1/2+D/12+\ldots$ То есть один "несчитаемый" коэффициент соответствует тому, что в этом разложении только есть ровно один член с отрицательной степенью $D$.

[Sonic86]

Vince Diesel в сообщении #488651 писал(а):

Или, в символьном виде, если записать разность как $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=(e^D-1)f(x)$, где $D$ - оператор дифференцирования, то обратный оператор можно представить как $\Delta^{-1}=(e^D-1)^{-1}=D^{-1}-1/2+D/12+\ldots$ То есть один "несчитаемый" коэффициент соответствует тому, что в этом разложении только есть ровно один член с отрицательной степенью $D$.

Ммм, ну да. Только для $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ не подходит. Правильно?

[Vince Diesel]

Да, чего-то в моем рассуждении не хватает. Но в формуле суммирования Эйлера-Маклорена

$$\sum_{i=0}^n f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-B_1(f(n)+f(0))+\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R(n)$$

члены $f^{(2k-1)}(n)$ дают явно вычисляемое асимптотическое разложение по убывающим степеням, так что неопределенность есть только для нулеаой степени. Что указывает на то, что "несчитаемых" коэффициентов здесь должно быть не более одного.

[Sonic86]

Vince Diesel в сообщении #488679 писал(а):

Что указывает на то, что "несчитаемых" коэффициентов здесь должно быть не более одного.

Так логично.
Жаль, что теоремы нету.