Измеримые множества и функции

[JMH]

Вспомнив о том, что большинство уважаемых участников форума не миновало КФ, я догадался туда заглянуть. Да, действительно, доказывается в одну строчку. Но я бы не сказал, что решение очевидно, может потому, что прежде не сталкивался с этим методом - брать сумму по всем рациональным числам. У меня имеется такой праздный вопрос: какие имеются другие несложные способы доказать это утверждение?

[PAV]

Более очевидного метода я не знаю. Непривычным он кажется только поначалу, но к хорошему быстро привыкаешь. Счетное всюду плотное множество на прямой для этих целей и существует.

[_hum_]

JMH в сообщении #488441 писал(а):

У меня имеется такой праздный вопрос: какие имеются другие несложные способы доказать это утверждение?

Как вариант:
1) для всякой измеримой функции существует последовательность простых сходящихся к ней поточечно функций (например,

$$f_n = -n I_{\{ f < -n\}} + \sum_{k = -n2^n + 1}^{n 2^n} \frac{k-1}{2^n} \,I_{\big\{\frac{k-1}{2^n}\leq f < \frac{k}{2^n}\big\}} + n I_{\{ f \geq n\}}$$

);
2) разность простых функций - простая => для разности двух измеримых функций существует последовательность измеримых сходящихся к ней поточечно функций;
3) поточечный предел последовательности измеримых функций - измеримая функция (ибо $ \lim_n f_n(x) = \inf_{m} \sup_{n > m} f_n(x)$, а для всякой последовательности измеримых функций $g_k$ функции $g_{\sup}(x) = \sup_{k} g_k(x)$, $g_{\inf}(x) = \inf_{k} g_k(x)$ измеримы, поскольку

$$\{x: \sup_{k} g_k(x) \leq c \} = \cap_k \{x: g_k(x) \leq c \},\quad \{x: \inf_{k} g_k(x) \leq c \} = \cup_k \{x: g_k(x) \leq c \}$$

).

[JMH]

Верно ли я понял: Вы доказываете, что разность измеримых функций - измерима? Тем же самым предлагал воспользоваться ewert; дело в том, что это не отменяет последнего шага: нужно доказать, что множество $\{x:\phi(x)>0\}$ - измеримо; здесь $\phi(x)$ - произвольная измеримая функция.

-- Сб окт 01, 2011 19:02:13 --

Можно поступить так: $\{x:\phi(x)>0\}=\displaystyle\bigcup\phi^{-1}\big{(}(\alpha,\beta)\big{)}$, где $\alpha,\beta\in\mathbb{Q}_+$ Но это по сути то же самое, что и в КФ... А доказать измеримость суммы (разности) измеримых функций можно и проще: легко видеть, что непрерывное отображение $n$ измеримых функций в тихоновское произведение $n$ топологических пространств - измеримо, а сумма - тоже непрерывное отображение...

[--mS--]

JMH в сообщении #488462 писал(а):

Верно ли я понял: Вы доказываете, что разность измеримых функций - измерима? Тем же самым предлагал воспользоваться ewert; дело в том, что это не отменяет последнего шага: нужно доказать, что множество $\{x:\phi(x)>0\}$ - измеримо; здесь $\phi(x)$ - произвольная измеримая функция.

Т.е. против измеримости множеств $\{x\,: g_k(x)\leq c\}$ для произвольной измеримой $g_k(x)$ и произвольного $c$ Вы не возражаете, а измеримость множества $\{x:\phi(x)>0\}$ нужно доказывать? А чем одно отличается от другого? Множество $\{x:\phi(x)>0\}$ есть прообраз борелевского множества $(0,\,+\infty)$ и измеримо по определению.