Как вы вычисляете в уме?

[ellipse]

Как вы вычисляете в уме?
Представляете только цифры или может, что пишете в на бумаге, на доске, складываете воображаемые предметы или же производите вычисления без зрительных образов, то есть вербально.
Например, я не задумываясь, могу находить число на один больше или меньше. Видимо, этот автоматизм следствие автоматизма последовательного перечисления чисел. Также до автоматизма помню, что 2+2=4, 2+3=5, 2+4=6, 3+3=6, 3+4=7, 4+5=9, 6+2=8, 5+5=10, 6+4=10, 7+3=10, 8+2=10, 9+1=10. Эти пары работают и при вычитании и при сложении многозначных чисел. Например, чтобы посчитать 8+5=13 я из соотношения 2+3=5 получаю, что до 10 не хватает 2 и еще остается 3.
А вот пары 5+2=7, 5+3=8, 7+2=9 почему-то никак не запоминаются до автоматизма. Приходится считать вербально, например, чтобы посчитать 5+2 я про себя два раза считаю "5, 6, 7". Или делаю какие-то выкладки из хорошо запомнившихся соотношений.

[caxap]

Чего только не придумают, чтобы не учить наизуть таблицу сложения/вычитания/умножения 10х10.

[IRINA-22]

ellipse в сообщении #488436 писал(а):

Как вы вычисляете в уме?

Извлечение кубического корня из шестизначных чисел в уме!http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=12066&hl=%E8%E7%E2%EB%E5%F7%E5%ED%E8%E5+%EA%F3%E1%E8%F7%E5%F1%EA%EE%E3%EE+%EA%EE%F0%ED%FF

[Joker_vD]

Прежде всего, я помню таблицы сложения-умножения для чисел от 1 до 9. При сложении "перекидываю" цифры разрядов от одного слагаемого к другому, например: $432+743=1132+043=1172+003=1175$. При умножении в уме... ох, тут варианты: если перемножаю двузначные $\overline{ab}$ и $\overline{cd}$, то считаю $ac$, "прикладываю" $ad+bc$, и "прикладываю" $bd$. Для многозначных стараюсь пользоваться дистрибутивностью: сначала умножить на тысячи, потом на сотни, сложить, на десятки, сложить, на единицы, сложить. Плюс, конечно, помню некоторые трюки вроде $25x=(x/4)\cdot100$, $(a+1)(a-1)=a^2-1$, и т.п.

[Sonic86]

ellipse в сообщении #488436 писал(а):

Например, чтобы посчитать 8+5=13 я из соотношения 2+3=5 получаю, что до 10 не хватает 2 и еще остается 3.
А вот пары 5+2=7, 5+3=8, 7+2=9 почему-то никак не запоминаются до автоматизма. Приходится считать вербально, например, чтобы посчитать 5+2 я про себя два раза считаю "5, 6, 7". Или делаю какие-то выкладки из хорошо запомнившихся соотношений.

Блин, ну Вы даете. Я когда тренировался раскладывать номера на билетах в автобусе, я и таблицу умножения до 20 примерно запомнил.
Вслух (вербально) мышление при счете почти не происходит - только картинки. Вербальное - для теорем, нечетких рассуждений. Никогда не представлял себе цифры величинами, палочками, иногда только - отрезками, когда они неточно заданы, типа $f \cdot 10^k$.
У меня при вычислении просто часть исходных данных быстро исчезает и сразу появляются результаты промежуточных вычислений. Ну то есть если операция - умножить пару чисел, не больших 20, то результат появляется мгновенно, примерно за $10^{-1}$ сек. Если таки примеров штук 10-20 подряд решить, то мозг начинает тормозить (кэш забивается ), т.е. вот этот невидимый процесс "данные исчезли, появился результат" - его нужно примерно секунду ждать, но он все равно происходит не плавно, а быстро: просто данные исчезли и появился результат. Если же, например, выполняем сложное действие - сложение 3-хзначных чисел - то как у Joker_vD - воображаются 2 числа (как мы их пишем на листочке) и складываются числа поразрядно - цифры внизу появляются по очереди. Причем мозг, зараза такая, ленится - он сначала посчитает старший разряд и младший, а потом чуть помедлит - и уже средний

Joker_vD в сообщении #488450 писал(а):

Для многозначных стараюсь пользоваться дистрибутивностью: сначала умножить на тысячи, потом на сотни, сложить, на десятки, сложить, на единицы, сложить. Плюс, конечно, помню некоторые трюки вроде $25x=(x/4)\cdot100$, $(a+1)(a-1)=a^2-1$, и т.п.

Такая же фигня. Только можно и $a^2-k^2=(a-k)(a+k)$ для небольших $k$ использовать, не только для 1, например, факторизовать 165.

IRINA-22 в сообщении #488444 писал(а):

Извлечение кубического корня из шестизначных чисел в уме!http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=12066&hl=%E8%E7%E2%EB%E5%F7%E5%ED%E8%E5+%EA%F3%E1%E8%F7%E5%F1%EA%EE%E3%EE+%EA%EE%F0%ED%FF

А я рядами пользуюсь

Мне вот интересно, как народ теоремы запоминает. Теоремы с матанализа я обычно запоминал в виде картинок (теоремы Ролля, Вейерштрасса, Лагранжа, формулу дифференциала) или в виде последовательности картинок и если надо вспомнить доказательство - воспроизводил и описывал картинки (хотя доказываются они формульно). Иногда, если надо запомнить формулу, и что-то в ней не помню (знак, или где числитель, а где знаменатель), пользуюсь постановкой значений или соображениями размерности.
Или синус: в школе тыщу раз показывали этот круг и через круг решали уравнения $\sin x = a$. А я уже тогда где-то видел график синуса и всегда для определения его знака и проверки решений графически представлял себе синусоиду. Формулы приведения - тоже графически: $\sin , \cos (\frac{k}{2} \pi \pm x) = ?$ - представляем себе график синуса, или косинуса, воображаем на нем точку $(0,y(0))$, делаем сдвиг точки по кривой влево или вправо на указанный угол, а затем из того места, где оказалась точка, в зависимости от знака перед $x$ начинаем ползти точкой влево или вправо - точка рисует часть графика. И смотрим, что она рисует - синус или косинус (начинает из середины - синус, сверху или снизу - $\pm \cos x$) И т.п.
А вот соотношения тригонометрических и гиперболических функций не запоминал: только подставлял $ix$ в тригонометрические формулы

[Portnov]

При устном счёте очень много зависит от памяти. Как минимум про кого-то из «феноменальных счётчиков» (были такие товарищи, аж на эстраде выступали — перемножали многозначные числа) читал, что он «просто» запомнил таблицу логарифмов. И вместо умножения, соответственно, выполнял сложение.

Ну и про старые приёмы тоже не надо забывать. Я, помнится, в школе очень удивлялся термину «формулы сокращённого умножения»: какие-то заклинания, которые позволяют «разворачивать» и «сворачивать» длинные алгебраические выражения, а зачем — непонятно. И уже после школы ВНЕЗАПНО понял (где-то вычитал, видимо, в какой-то энциклопедии), что эти формулы действительно «сокращённого умножения» — они уменьшают количество умножений при расчётах, что при расчётах в уме или там на счётах позволяет считать существенно быстрее.