Из формулы получить $P_{(n)}(z)$

[Falex]

Есть полином степени $s$ $P(z)$.
Получена формула (при $s \le n$)

$$ P^{\prime}(z)=-n P(z) + \sum_{k=1}^{n} P(z+\lambda_k), $$

где $\lambda_k$ можно считать некоторыми константами.Пробовал определить $P^{(j)}(z)$ $j=2,\ldots,s$ через $P(z)$,но
не получается.Может подскажите.

[Brukvalub]

$$ P^{\prime}^{\prime}(z)=-n P^{\prime}(z) + \sum_{k=1}^{n} P^{\prime}(z+\lambda_k), $$

Далее подставляете вместо $ P^{\prime}(z)$ предыдущее выражение, и т. д действуете рекуррентно.

[Falex]

Ну эт понятно.А общаю формулу нельзя,чтоб для $P^{(j)}(z)$ именно через $P(z)$ выразить.

[Gordmit]

Проделайте то, что советует Brukvalub, для $j=2,3,4$, и поймете механизм, по которому можно построить и общую формулу. У меня получилась такая общая формула:

$$P^{(j)}(z)=\sum_{k=0}^j (-1)^k C_k^j n^k \sum_{i_1=1}^n \ldots \sum_{i_k=1}^n P(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k})$$

.

(Здесь $C_k^j$ - биномиальные коэффициенты и считается, что $k$-кратной суммы при $k=0$ просто нет.)

Оттуда же будет виден способ, как доказать эту формулу по индукции.

[RIP]

Только правильная формула имеет вид

$$\sum_{k=0}^j\binom jk(-n)^{j-k}\sum_{i_1=1}^n\ldots\sum_{i_k=1}^nP(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k})$$

($k$-кратная вутренняя сумма при $k=0$ воспринимается как $P(z)$)

[Falex]

RIP.Я посмотрел.Спасибо.Но по Вашей формуле получается для $j=2$,что

$$ P^{(2)} (z) = n^2 P(z) - 2n\sum\limits_{i_1 = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 } )} + \sum\limits_{i_1 = 1}^n {\sum\limits_{i_2 = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 } + \lambda _{i_2 } )} } , $$

хотя просто подставлением у меня получается,что

$$ P^{(2)} (z) = n^2 P(z) - n\sum\limits_{i_1 = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 } )} - n\sum\limits_{i_2 = 1}^n {P(z + \lambda _{i_2 } )} + \sum\limits_{i_1 = 1}^n {\sum\limits_{i_2 = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 } + \lambda _{i_2 } )} } $$

[RIP]

Falex
Это одно и то же.

[Falex]

В принципе да =))
спасибо.

[Falex]

Извините за столь старую тему.
Но нет ли здесь ошибки в формуле RIP.
У меня вот так получилось:

$$ P^{(j)}(z)=(-1)^j n^j P(z) + (-1)^{j+1}C_j^1 n^{j-1}\sum_{i_1=1}^n P(z+\lambda_{i_1})+\ldots +(-1)^{j+m}C_j^m n^{j-m}\sum_{i_1=1}^n \ldots \sum_{i_m=1}^n P(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_m})+ \ldots+\sum_{i_1=1}^n \ldots \sum_{i_j=1}^n P(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_j}) $$

[RIP]

Я уже писал(а):

Falex
Это одно и то же.

[Falex]

Просто такое выражение может восприниматься по-другому:

$$ (z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k}), $$

т.е. что понимать в скокбках:если $j=1$.Толи брать только $\lambda_{i_1}$,то ли $\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k}$,но
что тогда брать за $\lambda_{i_2}+\ldots+\lambda_{i_k}$.

[RIP]

$$z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k}\overset{def}{=}z+\sum_{l=1}^k\lambda_{i_l},\ k\geqslant1$$

[Falex]

RIP все OK!Пасиб.