2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Из формулы получить $P_{(n)}(z)$
Сообщение13.01.2007, 22:56 


26/09/05
530
Есть полином степени $s$ $P(z)$.
Получена формула (при $s \le n$)
$$
P^{\prime}(z)=-n P(z) + \sum_{k=1}^{n} P(z+\lambda_k),
$$
где $\lambda_k$ можно считать некоторыми константами.Пробовал определить $P^{(j)}(z)$ $j=2,\ldots,s$ через $P(z)$,но
не получается.Может подскажите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2007, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
$$ P^{\prime}^{\prime}(z)=-n  P^{\prime}(z) + \sum_{k=1}^{n} P^{\prime}(z+\lambda_k), $$ Далее подставляете вместо $ P^{\prime}(z)$ предыдущее выражение, и т. д действуете рекуррентно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 00:05 


26/09/05
530
Ну эт понятно.А общаю формулу нельзя,чтоб для $P^{(j)}(z)$ именно через $P(z)$ выразить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 04:08 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Проделайте то, что советует Brukvalub, для $j=2,3,4$, и поймете механизм, по которому можно построить и общую формулу. У меня получилась такая общая формула:

$$P^{(j)}(z)=\sum_{k=0}^j (-1)^k C_k^j n^k \sum_{i_1=1}^n \ldots \sum_{i_k=1}^n P(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k})$$.

(Здесь $C_k^j$ - биномиальные коэффициенты и считается, что $k$-кратной суммы при $k=0$ просто нет.)

Оттуда же будет виден способ, как доказать эту формулу по индукции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 04:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Только правильная формула имеет вид
$$\sum_{k=0}^j\binom jk(-n)^{j-k}\sum_{i_1=1}^n\ldots\sum_{i_k=1}^nP(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k})$$
($k$-кратная вутренняя сумма при $k=0$ воспринимается как $P(z)$)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 11:35 


26/09/05
530
RIP.Я посмотрел.Спасибо.Но по Вашей формуле получается для $j=2$,что
$$
P^{(2)} (z) = n^2 P(z) - 2n\sum\limits_{i_1  = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 } )}  + \sum\limits_{i_1  = 1}^n {\sum\limits_{i_2  = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 }  + \lambda _{i_2 } )} } ,
$$
хотя просто подставлением у меня получается,что
$$
P^{(2)} (z) = n^2 P(z) - n\sum\limits_{i_1  = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 } )}  - n\sum\limits_{i_2  = 1}^n {P(z + \lambda _{i_2 } )}  + \sum\limits_{i_1  = 1}^n {\sum\limits_{i_2  = 1}^n {P(z + \lambda _{i_1 }  + \lambda _{i_2 } )} } 
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Falex
Это одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 11:42 


26/09/05
530
В принципе да =))
спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2007, 22:52 


26/09/05
530
Извините за столь старую тему.
Но нет ли здесь ошибки в формуле RIP.
У меня вот так получилось:
$$
P^{(j)}(z)=(-1)^j n^j P(z) + (-1)^{j+1}C_j^1 n^{j-1}\sum_{i_1=1}^n P(z+\lambda_{i_1})+\ldots
+(-1)^{j+m}C_j^m n^{j-m}\sum_{i_1=1}^n \ldots \sum_{i_m=1}^n P(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_m})+
\ldots+\sum_{i_1=1}^n \ldots \sum_{i_j=1}^n P(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_j})
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2007, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Я уже писал(а):
Falex
Это одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 06:37 


26/09/05
530
Просто такое выражение может восприниматься по-другому: ;)
$$
(z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k}),
$$
т.е. что понимать в скокбках:если $j=1$.Толи брать только $\lambda_{i_1}$,то ли $\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k}$,но
что тогда брать за $\lambda_{i_2}+\ldots+\lambda_{i_k}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$$z+\lambda_{i_1}+\ldots+\lambda_{i_k}\overset{def}{=}z+\sum_{l=1}^k\lambda_{i_l},\ k\geqslant1$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 17:25 


26/09/05
530
RIP все OK!Пасиб.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group